Estimación de parámetros diferentes al total
Autor | Andrés Gutiérrez Rojas |
Páginas | 255-293 |
Cap´ıtulo 8
Estimaci´on de par´ametros
diferentes al total
Naturalmente, el investigador est´a interesado en encontrar las propiedades
estad´ısticas de un estimador. Si ´este tiene una forma lineal, no se necesitan
nuevas herramientas. Sin embargo, los par´ametros que se encuentran en
la pr´actica corresponden a funciones no lineales de totales.
Carl-Erik S¨arndal (1992)
En los cap´ıtulos anteriores, nuestra atenci´on estuvo centrada en la b´usqueda del
mejor dise˜no de muestreo con los estimadores de Horvitz-Thompson, para muestreo
sin reemplazo y estimadores de Hansen-Hurwitz, para muestreo con reemplazo. En
nuestra traves´ıa hemos pasado por los dise˜nos de probabilidad fija e igual. Para
mejorar la eficiencia de la estrategia hemos revisado los dise˜nos de probabilidades
proporcionales y dise˜nos estratificados, con la ayuda de informaci´on auxiliar de tipo
continuo o discreto. Para mejorar la eficacia del plan operativo y la dispersi´on de
la muestra en la poblaci´on se han propuesto dise˜nos de muestreo complejos de
conglomerados y en varias etapas.
El lector debi´o notar que en la primera parte de este texto se ha seguido con fideli-
dad la regla de oro del dise˜no de encuestas y es utilizar estrategias de muestreo que
induzcan probabilidades de inclusi´on o selecci´on, seg´un sea el caso, proporcionales
al valor de la caracter´ıstica de inter´es. De este modo, si la encuesta est´a enfocada
en una caracter´ıstica de inter´es cuya dispersi´on es muy baja, como el n´umero de
hijos en niveles socioecon´omicos altos, que generalmente no es mayor a tres, es
posible utilizar un muestreo aleatorio con probabilidades simples. De otra manera
y con la ayuda de informaci´on auxiliar, es posible seguir la regla de oro mediante la
construcci´on de probabilidades proporcionales en la etapa de dise˜no. Sin embargo,
esta ventaja del marco de muestreo no s´olo se puede utilizar en la etapa de dise˜no
sino tambi´en en la etapa de estimaci´on.
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256 8. Estimaci´on de par´ametros diferentes al total
8.1 Fundamentos te´oricos
Siguiendo la filosof´ıa del t´ıtulo que lleva este texto, nos encaminaremos en la
b´usqueda de la mejor estrategia de muestreo mejorando el estimador. En esta
etapa del camino, se supone que el lector conoce el comportamiento estructural
de la poblaci´on y est´a en capacidad de proponer el mejor dise ˜no de muestreo, de
acuerdo a la generosidad del marco de muestreo.
Por supuesto, en algunos estudios multi-prop´osito, en encuestas complejas y en
casos particulares, es necesario obtener estimaciones para par´ametros diferentes
a los totales. Por ejemplo, razones de dos caracter´ısticas de inter´es, medianas
y percentiles poblacionales, par´ametros de regresi´on, coeficientes de correlaci´on,
varianzas, covarianz as,´ındices,etc. Como lo afirma Bautista ( 1998), la metodolog´ıa
que se propone para estimar estos par´ametros poblacionales es reescribirlos como
funci´on de totales poblacionales. As´ı, si el par´ametro a estimar es B, lo debemos
llevar a la siguiente forma
B=f(t1, t2, . . . , tQ) (8.1.1)
Donde cada tqq= 1, . . . , Q representa un total de las caracter´ısticas de inter´es o
un total de una funci´on de las caracter´ısticas de inter´es. El principio de estimaci´on
de este par´ametro est´a en obtener estimadores insesgados ˆ
tqq= 1, . . . , Q tal que
Tes estimado por
ˆ
B=f(ˆ
t1,ˆ
t2,...,ˆ
tQ) (8.1.2)
N´otese que la funci´on fpuede ser lineal o no. Un resultado muy conocido de la
inferencia estad´ıstica cl´asica nos indica que si la funci´on fes una funci´on lineal
entonces Btoma la forma
B=a0+
Q
X
q=1
aqtq(8.1.3)
Por tanto, un estimador insesgado de Best´a dado por la siguiente expresi´on
ˆ
B=a0+
Q
X
q=1
aqˆ
tq(8.1.4)
Si en la estimaci´on de Bhemos utilizado estimadores de tipo Horvitz-Thompson,
entonces es posible escribir (8.1.3) como
ˆ
Bπ=a0+X
k∈S
Ek
πk
(8.1.5)
donde Ek=PQ
q=1 aqyqk y el valor del k-´esimo elemento en la q-´esima caracter´ıstica
de inter´es est´a dado por yjk . Siguiendo los principios del estimador de Horvitz-
Thompson, la varianza de ˆ
Bπse puede expresar como
8.1. Fundamentos te´oricos 257
V ar(ˆ
Bπ) = XX
U
∆kl
Ek
πk
El
πl
.(8.1.6)
Un estimador insesgado para la expresi´on (8.0.5) est´a dada por
d
V ar1(ˆ
Bπ) = XX
S
∆kl
πkl
Ek
πk
El
πl
(8.1.7)
N´otese que cuando la funci´on fes lineal no se involucran nuevos principios de
estimaci´on. Por el contrario, cuando fno es lineal, el estimador propuesto es la
misma expresi´on (8.1.2); sin embargo, en algunos casos, no es posible ni calcular,
ni estimar la varianza debido a la complejidad matem´atica te´orica del desarrollo y
es necesario recurrir a m´etodos que permitan llegar a una expresi´on que aproxime
la varianza. Es posible aproximar la varianza utilizando las t´ecnicas de linealiza-
ci´on para estimar la precisi´on de estos estimadores. ´
Estas han sido introducida
por Woodruff (1971). Algunas aplicaciones en la teor´ıa de muestreo han sido desa-
rrolladas, entre otros, por Binder (1983) y Deville (1999). El m´etodo m´as com´un,
aunque no el ´unico, es el de linealizaci´on por polinomios de Taylor.
8.1.1 Aproximaci´on de una funci´on por p olinomios
En Apostol (1963, p. 417) se presentan las condiciones para que una funci´on fse
pueda aproximar mediante un polinomio. Entre ellas tenemos que la funci´on fsea
derivable y que sus derivadas deben estar definidas en el punto x=a.
Resultado 8.1.1 (Teorema de Taylor).Si una funci´on se puede aproximar me-
diante un polinomio, entonces ´este estar´a definido por
f(x) = f(a) + f′(a)
1! (x−a) + f′′ (a)
2! (x−a)2+. . . +f(n)
n!(x−a)n+. . . (8.1.8)
Prueba. Sea
f(x) = c0+c1(x−a) + c2(x−a)2+. . . (8.1.9)
Derivando sucesivamente, tenemos
f(1)(x) = c1+ 2c2(x−a) + 3(x−a)2+. . .
f(2)(x) = 2c2+ 6c3(x−a) + 12c4(x−a)2+. . .
f(3)(x) = 6c3+ 24c4(x−a) + 60c5(x−a)2+. . .
.
.
.
f(n)(x) = n!cn+ (n+ 1)!Cn+1(x−a) + (n+ 2)!Cn+2(x−a)2+. . .
Haciendo x=atenemos
f(a) = c0f(1)(a) = c1
f(2)(a) = 2c2f(3)(a) = 6c3
y en general f(n)(x) = n!cn. Sustituyendo en (8.1.9), se llega a la aproximaci´on
mediante polinomios de Taylor como en (8.1.8).
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