Estimación de parámetros diferentes al total - Inferencia asistida por modelos - Estrategias de muestreo, diseño de encuestas y estimación de parámetros - Libros y Revistas - VLEX 747468245

Estimación de parámetros diferentes al total

AutorAndrés Gutiérrez Rojas
Páginas255-293
Cap´ıtulo 8
Estimaci´on de par´ametros
diferentes al total
Naturalmente, el investigador est´a interesado en encontrar las propiedades
estad´ısticas de un estimador. Si ´este tiene una forma lineal, no se necesitan
nuevas herramientas. Sin embargo, los par´ametros que se encuentran en
la pr´actica corresponden a funciones no lineales de totales.
Carl-Erik S¨arndal (1992)
En los cap´ıtulos anteriores, nuestra atenci´on estuvo centrada en la b´usqueda del
mejor dise˜no de muestreo con los estimadores de Horvitz-Thompson, para muestreo
sin reemplazo y estimadores de Hansen-Hurwitz, para muestreo con reemplazo. En
nuestra traves´ıa hemos pasado por los dise˜nos de probabilidad fija e igual. Para
mejorar la eficiencia de la estrategia hemos revisado los dise˜nos de probabilidades
proporcionales y dise˜nos estratificados, con la ayuda de informaci´on auxiliar de tipo
continuo o discreto. Para mejorar la eficacia del plan operativo y la dispersi´on de
la muestra en la poblaci´on se han propuesto dise˜nos de muestreo complejos de
conglomerados y en varias etapas.
El lector debi´o notar que en la primera parte de este texto se ha seguido con fideli-
dad la regla de oro del dise˜no de encuestas y es utilizar estrategias de muestreo que
induzcan probabilidades de inclusi´on o selecci´on, seg´un sea el caso, proporcionales
al valor de la caracter´ıstica de inter´es. De este modo, si la encuesta est´a enfocada
en una caracter´ıstica de inter´es cuya dispersi´on es muy baja, como el n´umero de
hijos en niveles socioecon´omicos altos, que generalmente no es mayor a tres, es
posible utilizar un muestreo aleatorio con probabilidades simples. De otra manera
y con la ayuda de informaci´on auxiliar, es posible seguir la regla de oro mediante la
construcci´on de probabilidades proporcionales en la etapa de dise˜no. Sin embargo,
esta ventaja del marco de muestreo no s´olo se puede utilizar en la etapa de dise˜no
sino tambi´en en la etapa de estimaci´on.
255
256 8. Estimaci´on de par´ametros diferentes al total
8.1 Fundamentos te´oricos
Siguiendo la filosof´ıa del t´ıtulo que lleva este texto, nos encaminaremos en la
usqueda de la mejor estrategia de muestreo mejorando el estimador. En esta
etapa del camino, se supone que el lector conoce el comportamiento estructural
de la poblaci´on y est´a en capacidad de proponer el mejor dise ˜no de muestreo, de
acuerdo a la generosidad del marco de muestreo.
Por supuesto, en algunos estudios multi-prop´osito, en encuestas complejas y en
casos particulares, es necesario obtener estimaciones para par´ametros diferentes
a los totales. Por ejemplo, razones de dos caracter´ısticas de inter´es, medianas
y percentiles poblacionales, par´ametros de regresi´on, coeficientes de correlaci´on,
varianzas, covarianz as,´ındices,etc. Como lo afirma Bautista ( 1998), la metodolog´ıa
que se propone para estimar estos par´ametros poblacionales es reescribirlos como
funci´on de totales poblacionales. As´ı, si el par´ametro a estimar es B, lo debemos
llevar a la siguiente forma
B=f(t1, t2, . . . , tQ) (8.1.1)
Donde cada tqq= 1, . . . , Q representa un total de las caracter´ısticas de inter´es o
un total de una funci´on de las caracter´ısticas de inter´es. El principio de estimaci´on
de este par´ametro est´a en obtener estimadores insesgados ˆ
tqq= 1, . . . , Q tal que
Tes estimado por
ˆ
B=f(ˆ
t1,ˆ
t2,...,ˆ
tQ) (8.1.2)
otese que la funci´on fpuede ser lineal o no. Un resultado muy conocido de la
inferencia estad´ıstica cl´asica nos indica que si la funci´on fes una funci´on lineal
entonces Btoma la forma
B=a0+
Q
X
q=1
aqtq(8.1.3)
Por tanto, un estimador insesgado de Best´a dado por la siguiente expresi´on
ˆ
B=a0+
Q
X
q=1
aqˆ
tq(8.1.4)
Si en la estimaci´on de Bhemos utilizado estimadores de tipo Horvitz-Thompson,
entonces es posible escribir (8.1.3) como
ˆ
Bπ=a0+X
kS
Ek
πk
(8.1.5)
donde Ek=PQ
q=1 aqyqk y el valor del kesimo elemento en la qesima caracter´ıstica
de inter´es est´a dado por yjk . Siguiendo los principios del estimador de Horvitz-
Thompson, la varianza de ˆ
Bπse puede expresar como
8.1. Fundamentos te´oricos 257
V ar(ˆ
Bπ) = XX
U
kl
Ek
πk
El
πl
.(8.1.6)
Un estimador insesgado para la expresi´on (8.0.5) est´a dada por
d
V ar1(ˆ
Bπ) = XX
S
kl
πkl
Ek
πk
El
πl
(8.1.7)
otese que cuando la funci´on fes lineal no se involucran nuevos principios de
estimaci´on. Por el contrario, cuando fno es lineal, el estimador propuesto es la
misma expresi´on (8.1.2); sin embargo, en algunos casos, no es posible ni calcular,
ni estimar la varianza debido a la complejidad matem´atica te´orica del desarrollo y
es necesario recurrir a m´etodos que permitan llegar a una expresi´on que aproxime
la varianza. Es posible aproximar la varianza utilizando las t´ecnicas de linealiza-
ci´on para estimar la precisi´on de estos estimadores. ´
Estas han sido introducida
por Woodruff (1971). Algunas aplicaciones en la teor´ıa de muestreo han sido desa-
rrolladas, entre otros, por Binder (1983) y Deville (1999). El m´etodo m´as com´un,
aunque no el ´unico, es el de linealizaci´on por polinomios de Taylor.
8.1.1 Aproximaci´on de una funci´on por p olinomios
En Apostol (1963, p. 417) se presentan las condiciones para que una funci´on fse
pueda aproximar mediante un polinomio. Entre ellas tenemos que la funci´on fsea
derivable y que sus derivadas deben estar definidas en el punto x=a.
Resultado 8.1.1 (Teorema de Taylor).Si una funci´on se puede aproximar me-
diante un polinomio, entonces ´este estar´a definido por
f(x) = f(a) + f(a)
1! (xa) + f′′ (a)
2! (xa)2+. . . +f(n)
n!(xa)n+. . . (8.1.8)
Prueba. Sea
f(x) = c0+c1(xa) + c2(xa)2+. . . (8.1.9)
Derivando sucesivamente, tenemos
f(1)(x) = c1+ 2c2(xa) + 3(xa)2+. . .
f(2)(x) = 2c2+ 6c3(xa) + 12c4(xa)2+. . .
f(3)(x) = 6c3+ 24c4(xa) + 60c5(xa)2+. . .
.
.
.
f(n)(x) = n!cn+ (n+ 1)!Cn+1(xa) + (n+ 2)!Cn+2(xa)2+. . .
Haciendo x=atenemos
f(a) = c0f(1)(a) = c1
f(2)(a) = 2c2f(3)(a) = 6c3
y en general f(n)(x) = n!cn. Sustituyendo en (8.1.9), se llega a la aproximaci´on
mediante polinomios de Taylor como en (8.1.8).

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