Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia: una aproximación teórica
| Autor | Daniel Blandón Restrepo |
| Páginas | 233-270 |
233
DESARRO. SOC. 71, PRIMER SEMESTRE DE 2013, PP. X-XX, ISSN 0120-3584
Revista
Desarrollo y Sociedad
78
Primer semestre 2017
PP. 233-270, ISSN 0120-3584
E-ISSN 1900-7760
Implementación en la asignación de proyectos
con las regalías en Colombia: una aproximación
teórica
Implementation in the Allocation of Projects
with the Royalties in Colombia: A Theoretical
Approach
Daniel Blandón Restrepo1
DOI: 10.13043/DYS.78.6
Resumen
Este artículo estudia la implementación en la votación por mayoría que se
realiza en los Órganos Colegiados de Administración y Decisión (OCAD) para
elegir los proyectos a financiar con las regalías en Colombia. Los resultados
muestran que la votación en los OCAD no es implementable, a menos que se
incluyan ciertos supuestos sobre el tipo de preferencias de los gobernantes
y el mecanismo de votación. La implementación se logra suponiendo que el
gobierno central es siempre sincero en sus preferencias, que los gobiernos
departamentales y municipales tienen preferencias unimodales (como en el
caso en que prefieren los proyectos que se acercan más a su región) y que la
primera etapa de la votación (que corresponde a la elección de los alcaldes
que representan al gobierno municipal en los OCAD) se realice para votar por
proyectos y no por alcaldes.
1 Magíster en Economía de la Universidad de los Andes. Correo electrónico: d.blandon65@uniandes.edu.co,
Calle 87# 10 – 93, Bogotá, Colombia.
Este artículo fue recibido el 2 de marzo del 2015, revisado el 27 de abril del 2016 y finalmente aceptado
el 6 de diciembre del 2016.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
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DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Palabras clave: regalías, OCAD, regla de mayoría, elección social, implemen-
tación (palabras clave del autor).
Clasificación JEL: D71, D72, D78, D82, H76.
Abstract
This paper studies the implementation of majority voting in OCADs (Collegiate
Administration and Decision Bodies) to choose which projects will be financed
with royalties in Colombia. The results show that votes made in OCADs are not
implementable unless some assumptions about leaders’ preferences and the
voting mechanism are added. Implementation is achieved assuming that
the central government is always honest about its preferences; that depart-
mental and municipal governments have unimodal preferences (such as when
leaders show preferences for projects based on the proximity of these to their
own regions); and that the first stage of voting (which is when mayors who
will represent their municipal governments in the OCADs are elected) is car-
ried out to vote for projects and not for mayors.
Key words: Royalties, OCAD, majority rule, social choice, implementation
(author´s key words).
JEL classification: D71, D72, D78, D82, H76.
Introducción
Las regalías son la compensación económica que se le paga a un país o terri-
torio por la explotación de sus recursos naturales no renovables. En Colombia,
los ingresos provenientes de las regalías se destinan a fondos de ahorro y a
financiar proyectos de impacto nacional, regional, departamental o municipal.
Una adecuada asignación de proyectos a financiar puede contribuir de manera
importante al desarrollo económico y social del país; por tanto, es trascenden-
tal que se tengan los incentivos alineados para elegir aquellos proyectos que
generen un mayor impacto positivo en la sociedad. Este artículo estudia en
qué condiciones los Órganos Colegiados de Administración y Decisión (OCAD), el
nuevo mecanismo de asignación de proyectos propuesto por el gobierno central
con los recursos de las regalías, es implementable; es decir, con qué supuestos
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los agentes participantes pueden interactuar libremente y el resultado es lo
deseado socialmente. Lo deseado socialmente es definido por el resultado que
se busca del mecanismo, que en este caso es elegir los proyectos por mayoría,
de acuerdo con las verdaderas preferencias de los votantes (gobierno central,
gobiernos departamentales y gobiernos municipales).
Este nuevo mecanismo fue establecido en mayo del 2012, con la Ley 1530
que modificó el sistema de distribución de regalías. Según el gobierno cen-
tral, los cambios se hicieron por la falta de transparencia, la poca visibilidad
de proyectos de alto impacto y la inequidad entre territorios productores y no
productores. Ahora el alcalde o gobernador no es quien elige los programas a
ejecutar, sino que se conforman unos “triángulos de buen gobierno” que deci-
den por mayoría. Los triángulos de buen gobierno, formalmente llamados OCAD,
están conformados por el gobierno central, los gobiernos departamentales y
los gobiernos municipales. Cada nivel cuenta con un solo voto y se avalan las
decisiones por mayoría.
Existen cuatro niveles diferentes de OCAD, según el destino de las regalías:
tecnológico, regional, departamental y municipal. Aunque algunos de los resul-
tados de este trabajo podrían ser aplicables a los OCAD tecnológicos, solo se
estudian los otros tres, que involucran al gobierno central, el gobierno depar-
tamental y el gobierno municipal.
Los OCAD son constituidos en cada nivel por diferentes integrantes. En el
ámbito regional (seis en total) está el gobierno nacional, representado por
el ministro del Medio Ambiente, otros tres ministros y el director Nacional
de Planeación; el gobierno departamental, por todos los gobernadores de la
región; y el gobierno municipal, por dos alcaldes por departamento, a los que
se suma el alcalde de la ciudad capital. En una etapa previa, los dos alcaldes
son elegidos anualmente por mayoría entre todos los alcaldes de la región. En
el departamental (cuarenta en total) está el gobierno central con dos minis-
tros o sus delegados, el gobierno departamental con el respectivo gobernador
y el gobierno municipal, representado por el 10% de los alcaldes del departa-
mento. De igual manera, estos alcaldes son elegidos previamente por mayoría.
Por último, en el municipal (mil cincuenta y dos en total) participan el gobierno
central, con un delegado; el gobierno departamental, con su gobernador o un
delegado, y el gobierno municipal, con el respectivo alcalde. En la figura 1 se
presenta una explicación de los OCAD.
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Figura 1. Explicación de los OCAD
Nivel regional
Gobierno
Departamentos Municipios
4 ministros
DNP
Gobernadores
correspondientes
27%-30,1% regalías
2 alcaldes por
departamento
Alcalde capital
Nivel departamental
Gobierno
Departamentos Municipios
2 ministros o
delegados
Gobernador
Regalías directas
10% de los alcaldes
Nivel municipal
Gobierno
Departamentos Municipios
1 Delegado
Gobernador
o delegado
Regalías directas +
8,6%-9,5% regalías
Alcalde
Fuente: adaptado del SGR.
Anualmente, el gobierno central, por decreto, determina el presupuesto de cada
uno de los OCAD e invita a la convocatoria para la elección de los alcaldes que
representarán al gobierno municipal. Para esta convocatoria se reúnen todos
los alcaldes de cada departamento y eligen por votación a los dos alcaldes
que participarán en el OCAD regional y el correspondiente 10% de alcaldes que
participarán en el OCAD departamental. Por el lado de los proyectos, en todo
momento está abierta la convocatoria para que los dirigentes o ciudada-
nos presenten sus propuestas, la cual es revisada por un comité técnico. Si
las propuestas cumplen con los requisitos estipulados, se informa y convoca el
respectivo OCAD, que se deberá reunir, ya sea presencial o virtualmente, para
la aprobación de estos proyectos de acuerdo con el presupuesto determinado.
Al finalizar la reunión, se realiza un acta en la que se especifica el voto de
cada uno de los tres agentes en cada uno de los proyectos. Si hay más de dos
votos a favor implica su aprobación.
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Este artículo analiza teóricamente algunas propiedades del mecanismo
empleado para elegir los proyectos que se van a financiar con los recursos de
las regalías, con el propósito de determinar en qué condiciones es implemen-
table. La Ley 1530 establece que se debe elegir un proyecto con mayoría cali-
ficada; sin embargo, no hace referencia a los casos de más de dos proyectos
donde no haya mayoría para determinar los proyectos que se deben priorizar
de acuerdo con el presupuesto. Para esto fue necesario definir en el artículo
un nuevo concepto que es la familia de reglas de mayoría, con el fin de abar-
car todo el universo de reglas que cumplen mayoría simple, pero se diferen-
cian en los casos de empate (no hay mayoría).
Los primeros resultados muestran que en los OCAD la regla de mayoría es
manipulable y no es implementable en estrategias dominantes ni en equili-
brios de Nash. Este resultado se sostiene incluso suponiendo que el gobierno
central dice siempre la verdad. Sin embargo, utilizando la regla de Condorcet
y restringiendo el dominio de preferencias de manera que siempre haya solu-
ción, la regla de mayoría en los OCAD es implementable en estrategias domi-
nantes y equilibrios de Nash. Cuando se restringe el dominio de preferencias
de los agentes a preferencias unimodales, como cuando se prefieren proyectos
según la cercanía de un municipio o departamento, la regla de mayoría en los
OCAD es implementable en estrategias dominantes y equilibrios de Nash. Si se
agrega la elección previa de los alcaldes, se muestra que el mecanismo no es
implementable en estrategias dominantes. Finalmente, se elimina el supuesto
de preferencias unimodales para el gobierno central y se demuestra que el sis-
tema de asignación de proyectos es implementable en estrategias dominantes
y equilibrios de Nash, siempre y cuando el gobierno central no sea estratégico y
todos los alcaldes correspondientes participen en la elección de proyectos.
Existen otros segmentos en el nuevo sistema de regalías que son importantes,
pero no se incluyen: la presentación de proyectos, su viabilidad, la forma de
ejecutarlos, el presupuesto y el impacto final en la sociedad. A partir de este
trabajo no se puede concluir si la nueva ley de regalías tendrá un impacto
positivo para el país, pues su objetivo es determinar qué propiedades, a nivel
de incentivos, cumple la forma de elegir los proyectos a ejecutar. Para esto,
es importante suponer que existen proyectos ya propuestos de cualquier tipo
y que los miembros de los OCAD tienen algún perfil de preferencias sobre
los proyectos. A partir de estas preferencias es que se pretende concluir si
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los OCAD presentan los incentivos adecuados para que los participantes voten
de acuerdo con sus verdaderas preferencias y si es posible su implementación.
Este artículo pretende contribuir a la discusión sobre la conveniencia del
mecanismo diseñado por el gobierno colombiano para la elección de proyec-
tos con las regalías. De esa manera, ayudaría al gobierno a determinar si su
intención con la creación de los OCAD es avalada desde la teoría y si podría
ser empleada en otras iniciativas que necesiten elegir entre varias alternati-
vas. Por otro lado, la definición creada de familia de reglas de mayoría puede
ser utilizada en nuevos estudios donde exista la posibilidad de que no haya
consensos y la manera de desempate sea desconocida. Por último, el análisis
de votaciones de dos etapas, como se presenta en los OCAD, es poco estu-
diado por la literatura y las demostraciones de este artículo podrían contribuir
a nuevas investigaciones y avances teóricos en el tema.
Este documento se organiza en seis secciones, además de esta introducción.
La primera sección revisa la literatura sobre elección social y específicamente
sobre implementación. Luego, en la segunda sección, se presenta el modelo
teórico y, en la tercera, se analiza la votación en los OCAD. En la cuarta sección
se supone que las preferencias de los agentes son unimodales. En la quinta se
incluye en la votación la etapa previa de elección y, finalmente, en la última
parte del documento se presentan las conclusiones.
I. Revisión de literatura
Este tipo de investigación entra en el área de elección social, que analiza las
decisiones colectivas y busca unificar las preferencias individuales en una pre-
ferencia social (Gaertner, 2009). La unificación se logra por medio de reglas
sociales como consenso, dictatorial, mayoría, entre otros, y el objetivo es elegir
la alternativa que genere mayor beneficio social. Para el caso de la aprobación
de proyectos con los recursos de regalías, el gobierno central propuso, como
regla de elección social, la mayoría, entre el gobierno central y los gobiernos
departamentales y municipales.
Arrow (1951) es el primer antecedente en materia de formalización de la teo-
ría de elección social. Su resultado principal, el teorema de imposibilidad de
Arrow, muestra el problema que existe para agregar las preferencias individuales
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en una preferencia social. Su resultado demuestra que no es posible formar un
orden de preferencia social que sea compatible con propiedades básicas de
preferencias individuales, a menos que sea un dictador quien elija, es decir,
que la regla sea dictatorial2. El resultado del teorema de Gibbard (1973) y Sat-
terthwaite (1975) incorpora el comportamiento estratégico de los agentes y
concluye asimismo que la única regla no manipulable3 es dictatorial.
Una de las ramas de la elección social es la teoría de implementación. Esta teo-
ría se pregunta si es posible diseñar un mecanismo o institución de tal manera
que los agentes interactúen libremente y el resultado de la interacción, sin
importar las preferencias privadas, sea lo elegido por la regla social (Serrano,
2003). Una regla social es implementable en estrategias dominantes si y solo
si es no manipulable (Maskin, Laffont y Hildebrand, 1982). Además, imple-
mentable en equilibrios de Nash si y solo si es monotónica4 y cumple no veto5
(Maskin, 1999). Es importante mencionar que, si una regla es implementable
en estrategias dominantes, entonces es implementable en equilibrios de Nash.
Interpolando los resultados de Gibbard (1973) y Satterthwaite (1975), y Mas-
kin et al. (1982), se concluye que la única regla implementable en estrategias
dominantes es dictatorial. Una de las soluciones que ha encontrado la litera-
tura para este resultado negativo es restringir el dominio de preferencias. En
este aspecto, muchos autores han estudiado las preferencias unimodales,
en donde se supone que las alternativas se ubican en un espacio lineal, hay un
pico de satisfacción, y a medida que las alternativas se acerquen a dicho pico
son más preferibles. Con preferencias unimodales, la alternativa de la mediana
es la misma ganadora de la regla de Condorcet6 (Black, 1948; Downs, 1957).
Además, con preferencias unimodales, la única regla anónima7, no dictatorial y
no manipulable es elegir la alternativa de la mediana (Nehring y Puppe, 2002).
2 Una regla es dictatorial si el resultado está determinado por las preferencias de un solo agente.
3 Una regla es no manipulable si decir la verdad sobre sus preferencias es la mejor opción para los agentes.
4 Una transformación monotónica sobre una alternativa, es un cambio en las preferencias, de modo que
ninguna alternativa que era menos preferida pase a ser más preferida. Una regla es monotónica si elige
la misma alternativa ante transformaciones monotónicas en las preferencias.
5 Una regla cumple no veto si no existe un agente que pueda impedir que alguna alternativa sea elegida.
6 La regla de Condorcet es aquella que elige la alternativa que vence en mayoría simple al resto de
alternativas.
7 Una regla es anónima si se permutan las preferencias entre agentes y la regla elige la misma alternativa.
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II. Modelo
Hay 3 tipos de agentes
i N
: gobiernos municipales M m m mM
=
{ }
1 2
, , ,… ,
gobiernos departamentales D d d d D
=
{ }
1 2
, , ,… y el gobierno central g. El con-
junto de alternativas es A a a aA
=
{ }
1 2
, , ,… , el cual corresponde a todos los pro-
yectos presentados. Se denota
a b c A, ,
{ }
como proyectos representativos.
Cada agente
i N
tiene una relación estricta, completa y transitiva Pi sobre
A entonces aPb
i denota que a es preferida a b para el agente i. Se define el
perfil de preferencias como P P P P
M D g M D g
≡ ℘ ≡ ℘ ℘ ℘, , , ,
( ) ( )
y como el conjunto
de todos los posibles perfiles de preferencias, por tanto
P
∈ ℘8.
Un “problema” es un perfil de preferencias P. Una “regla” P
( )
es una fun-
ción que asocia un problema (perfil de preferencias) a una alternativa:
∀ ∈ ℘ ϕ ∈P P A,
( )
.
El “ranking de alternativas agregado” YPϕ∈ ℘
( )
es un orden de preferencias
sociales, el cual se obtiene de aplicar de forma iterativa la función P
( )
eli-
minando la alternativa recién elegida del perfil de preferencias P9. Por ejem-
plo, se supone P a
( )
=, se elimina a de P que se denotara como Pa a− −
∈ ℘
y se aplica nuevamente la función ϕ−
Pa
( )
que se supone es ϕ−
P b
a
( )
=. Se
elimina b de
P
a y se sigue el procedimiento hasta que se terminen las alter-
nativas. El resultado de dicho procedimiento llevará a un perfil de preferencia
que se denota como YPϕ∈ ℘
( )
, en donde a es la alternativa más preferida, b
la segunda y así sucesivamente. La expresión a P b
denota que a es preferido
a b en el ranking de alternativas agregadas con la regla P
( )
. Se supone que
cada vez que se elimine una alternativa, la relación de preferencia entre alter-
nativas no se modifica. El ranking va determinar las preferencias agregadas
8 Se supone que los agentes no son estratégicos con respecto al presupuesto disponible y se supone que
el espacio de preferencias definido no incluye la relación de indiferencia. Los resultados del presente
artículo podrían modificarse si se incluye la indiferencia entre alternativas por parte de los agentes.
9 Definir el ranking de alternativas agregado permite que se pueda elegir más de una alternativa, a pesar
de que la regla sea una función y solo elige una. Esto representa lo que se hace en realidad, ya que
en los OCAD es posible elegir más de un proyecto. Sin embargo, existen más formas de modelarlo. Es
posible considerar las alternativas como subconjuntos de proyectos y de esa manera solo elegir una
alternativa. En este caso, los resultados del artículo no cambian.
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de todos los agentes y será entonces el orden con el cual se aprueban los pro-
yectos de acuerdo con el presupuesto.
Ahora se define el sistema de votación que consta de dos etapas. La primera
etapa es la elección de los alcaldes M M
OCAD que van a participar en los
OCAD. Dependiendo del OCAD, el número de alcaldes participantes será limi-
tado y, por tanto, estos deben ser elegidos previamente por los demás alcal-
des involucrados10.
La segunda etapa corresponde a la votación dentro de los OCAD o triángulos de
buen gobierno11. El número de proyectos elegidos es variable, ya que dependerá
de cuántos se propusieron y del presupuesto P P P A A
M D g
Mayoría
OCAD , ,
{ }
→
{ }
′ ⊆ .
Donde A’ es el conjunto de proyectos elegidos.
En la primera parte del trabajo se analiza solamente la segunda etapa, es
decir, la elección dentro de los OCAD, sin incluir la votación previa para elegir
a los alcaldes. Posteriormente, se incluye la primera etapa. Las preferencias
de D y MOCAD
se asumen como el agregado de los integrantes del conjunto.
Inicialmente, se suponen las preferencias dadas y luego se recomendará cómo
puede ser dicha “agregación” de preferencias en una sola para que se man-
tengan los resultados.
A. Propiedades
Se introducen algunas propiedades estándar de la literatura que son desea-
bles para cualquier regla P
( )
.
Unanimidad: ∀ ∈ ℘ ∃∈ ∈ ∀ ≠ ∈
P Si a A tal que i N b a A aP b N
i
, ,
{ }
=, en-
tonces P a
( )
=. Una regla es “unánime” cuando existe una alternativa que
es preferida por todos los agentes y es elegida por la regla.
10 Según la Ley 1550 del 2012, “… serán elegidos democráticamente, mediante el sistema de cuociente
electoral, para períodos anuales…”. Para el ámbito regional se elegirán dos alcaldes por departamento
y para el departamental el 10% de los alcaldes. Esto solo aplica para los OCAD regionales y departa-
mentales.
11 Según la Ley 1550 del 2012, “Cada nivel de gobierno […] tendrá derecho a un (1) voto, para un total
de tres (3) votos. Las decisiones se adoptarán por mayoría calificada de dos (2) votos…”.
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No veto: ∀ ∈ ℘ ∃∈ ∈ ∀ ≠ ∈ −P Si a A tal que i N b a A aP b N
i
, ,
{ }
=
1
, enton-
ces P a
( )
=. Una regla cumple “no veto” cuando existe una alternativa que
es preferida por todos los agentes menos uno, el cual no está en la capacidad
de impedir que dicha alternativa sea elegida. En el contexto de los OCAD, esta
propiedad mostraría que las decisiones no son centralizadas, ya que el gobierno
central no está en la capacidad de vetar alguna alternativa.
No dic tatoria l:
, i
si i N tal que P si b a A aP b∃ ∈ ∀ ∈ ℘ ∀ ≠ ∈
entonces
P a
( )
=. Una regla es “no dictatorial” si no existe un agente que determine
la alternativa elegida por la regla sin importar las preferencias de los demás.
Transformación monotónica Pi
de Pi sobre a: si a b A aP b
i
∀ ∈, , entonces
aP
b
i
. Una “transformación monotónica sobre una alternativa a” es un cambio
en las preferencias, de manera que ninguna alternativa que era menos prefe-
rida a a pase a ser más preferida.
Monotonicidad: ∀ ∈ ℘ ∀ ′ ∈ ℘P si i P i
es una transformación monotónica
de Pi sobre a P=
( )
entonces ϕ′P a
( )
=. Una regla es “monotónica” si ante
una “transformación monotónica” de la alternativa elegida, la regla sigue eli-
giendo la misma alternativa.
Sobreyectividad: ∀ ∈ ∃∈ϕ ϕa A P tal que P a,
( )
=. Una regla es “sobre-
yectiva” si es posible que se elija cualquier alternativa. Es decir, para cada
alternativa posible existe un perfil de preferencias tal que la regla elige dicha
alternativa.
No manipulación:
( ) ( )
, ,
i i i i i i i
P i N y P tal que P P P P P
− −
∀ ∈ ℘ ∃ ∈ ∃ ′ ∈ ℘ ϕ ϕ ′
ó ϕ ϕ ′
− −
P P P P
i i i i
, ,
( )
=
( )
. Una regla es “no manipulable” si para cada agente es
mejor reportar sus verdaderas preferencias. Es decir, no se beneficia de mentir.
Se tiene establecida una regla que para cada perfil de preferencias P tiene
una solución. Sin embargo, el planeador no conoce las verdaderas preferencias
individuales y, por tanto, él debe diseñar un mecanismo, de manera que inte-
ractúen los agentes y los resultados en equilibrios de Nash (o estrategias domi-
nantes) sean los mismos de la regla social. Cuando existe dicho mecanismo se
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dice que “la regla es implementable”. Es posible que una regla se implemente
a sí misma.
La teoría de implementación se divide según los equilibrios de los juegos o
mecanismos que implementan las reglas sociales. Estos pueden ser equilibrios
en estrategias dominantes o equilibrios de Nash.
Para todo
i N
se define lo que reportan los agentes como Si i
∈ ℘ . Dados
los espacios de estrategias E E E E
M D g
, ,
( )
en donde
E∈ ℘
, se define el juego
T N E f P
i
i N
i
i N
, , ,
( ) ( )
( )
, donde f es una función que asocia una estrategia (un
perfil de preferencias) a una alternativa ∀ ∈E f E A,
( )
Por tanto, f E
( )
es el
resultado del juego, el cual pertenece al conjunto de alternativas A.
f
( )
Implementa la regla social en estrategias dominantes, si y solo si
∀ ∈ ℘ ∀ ϕ ∃∈ ℘ ∀ ∈ ∀ ′∈ ℘P y a P E tal que f E a y i N y E f E
i i
=
( ) ( )
=
( )
,
Pf E
i
( )
.
Se dice que una regla es “implementable en estrategias dominantes”, si existe
un juego f
( )
tal que la alternativa resultado de dicho juego en estrategias
dominantes es la misma elegida por la regla.
f
( )
Implementa la regla social en equilibrios de Nash, si y solo si
∀ ∈ ℘ ∀ ϕ ∃∈ ℘ ∀ ∈ ∀ ′∈ ℘P y a P E tal que f E a y i N y E f E
i i
=
( ) ( )
=
( )
,
Pf E E
i i i
′−
,
( )
.
Se dice que una regla es “implementable en equilibrios Nash”, si existe un
juego f
( )
tal que la alternativa resultado de dicho juego en equilibrios de
Nash es la misma elegida por la regla.
La implementación en estrategias dominantes es una condición más estricta
que en equilibrios de Nash. Es decir, si una regla es implementable en estra-
tegias dominantes, entonces es implementable en equilibrios de Nash. Asi-
mismo, si una regla no es implementable en equilibrios de Nash, entonces no
lo es en estrategias dominantes. Se define que una regla es implementable si
es implementable en estrategias dominantes o en equilibrios de Nash.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
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1. Teorema de Gibbard (1973) y Satterthwaite (1975)
Si A y≥ ϕ3 es sobreyectiva y no hay restricción en el dominio sobre el perfil
de preferencias, entonces es no manipulable si solo si es dictatorial.
La única manera de que una regla sea no manipulable es que sea dictatorial.
Proposición 1 (Maskin et al., 1982):
Si es sobreyectiva entonces es implementable en estrategias dominantes
si solo si es no manipulable.
Proposición 2 (Maskin, 1999):
Si es implementable en equilibrios de Nash entonces es monotónica.
Proposición 3 (Maskin, 1999):
Si A y≥ ϕ3 es montónica y satisface no veto entonces es implementable
en equilibrios de Nash.
Algunos resultados de Maskin et al. (1982) y Maskin (1999) permiten relacio-
nar implementabilidad, no manipulación, monotonicidad y no veto. Una regla
no manipulable es implementable en estrategias dominantes, y una que cum-
pla no veto y monotonicidad es implementable en equilibrios de Nash. Estos
resultados serán usados en todo el documento para concluir sobre la imple-
mentabilidad de los triángulos de buen gobierno.
III. La familia de reglas de mayoría
La nueva ley de regalías expresa que la forma como se van a elegir los pro-
yectos a financiar con los recursos provenientes de las regalías es mediante
mayoría calificada. Esta dice que se aprueba un proyecto con mínimo dos de
los tres votos. Existen muchas reglas sociales que se pueden considerar mayo-
ría calificada, y se diferencian en la alternativa que se elige cuando no hay un
conjunto de proyectos con mayoría (casos de empate). Estas reglas se deno-
minarán como la familia de reglas de mayoría, el cual es un concepto nuevo
usado para el desarrollo del artículo que unifica todas las reglas que cumplen
mayoría simple.
Se define la familia de reglas de mayoría
M P
( )
de la siguiente manera:
Daniel Blandón Restrepo 245
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Se tiene que N=3 y
M P
a
P
si b a î N aP b
De lo contrar
i
θ
θ
∀ ≠ ∈ ∈ ≥
( )
=
( )
{ }
A
, ,2
iio.
M P
( )
es por tanto todo un grupo de reglas que cuando por los menos 2 agen-
tes prefieren la misma alternativa sobre todas las demás esa es la elegida. Cada
regla está asociada a una función P
( )
de desempate que determina la dife-
rencia entre cada regla social. Se supone además que θ∈θ ≠ ∅P A y P
( ) ( )
.
Corolario 1: ∀ ∈ ℘ θ
P M P,
( )
es manipulable y no implementable en estrate-
gias dominantes.
Se tiene que es M P
( )
sobreyectiva y no dictatorial (véanse las demostracio-
nes A1.1 y A1.2 en el anexo 1). Utilizando el teorema de Gibbard-Satterthwaite
se concluye que M P
( )
es manipulable para A3 y, dado que el modelo
es para cualquier número de alternativas, se concluye que cualquier regla de
la familia de mayoría M P
( )
es manipulable. Utilizando la proposición 1 y la
misma racionalidad anterior, M P
( )
no puede ser implementable en estrate-
gias dominantes, completando así la demostración.
Proposición 4: ∀ ∈ ℘ θ
P M P,
( )
no es monotónica.
Demostración: se supone que M P
( )
es monotónica, hay 3 alternativas y es
lo siguiente:
P
a
a
a
P
a
a
a
P
a
a
a
MDg
OCAD
1
2
3
2
3
1
3
1
2
Según la definición de
M
, la solución de la regla del perfil anterior debe ser
P
( )
que puede ser cualquiera de las 3 alternativas.
Se suponen ahora estos perfiles de preferencia:
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
246
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
En donde
P
es una transformación monotónica de P sobre a P
1, es una
transformación monotónica de P sobre a y P
2 es una transformación mono-
tónica de P sobre a3.
Se tiene por definición de M P
( )
:
( ) ( ) ( )
3 1 2
M P a M P a M P a= = =
θ θ θ
′″
Ahora se miran los 3 casos posibles sobre P
( )
:
Caso 1: M P P a
( )
=
( )
=1
Como
M
es monotónica y
P
es una transformación monotónica de P sobre
a1 se debería tener que M P a
θ′
( )
=1. Sin embargo, por la definición de
M
se
tiene que M P a
θ′
( )
=3. Así,
M
no es monotónica si P a
( )
=1.
Caso 2: M P P a
( )
=
( )
=2
Como
M
es monotónica y
P
es una transformación monotónica de P sobre
a2 se debería tener que M P a
θ″
( )
=2. Sin embargo, por la definición de
M
se tiene que M P a
θ″
( )
=1. Así,
M
no es monotónica si P a
( )
=2.
Caso 3: M P P a
( )
=
( )
=3
Como
M
es monotónica y
P
es una transformación monotónica de P sobre
a3 se debería tener que θ. Sin embargo, por la definición de
M
se
tiene que θ. Así,
M
no es monotónica si P a
( )
=3.
Los 3 casos muestran todas las posibilidades de solución de M P
( )
y en todos
ellos se demostró que no se cumple monotonicidad. Por tanto, una regla de la
familia de mayoría no es monotónica cuando cualquier perfil de preferencias
es admisible para los agentes.
Nota: la demostración se puede extender a más de 3 alternativas. Se sigue la
misma racionalidad y se ponen las alternativas adicionales como menos pre-
feridas de las 3 primeras para todos los agentes tanto en P,
P
,
P
y
P
:
Daniel Blandón Restrepo 247
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
P
a
a
a
a
P
a
a
a
a
P
a
a
a
a
MDg
OCAD
1
2
3
4
2
3
1
4
3
1
2
4
La demostración se hace de la misma manera y para los casos M P P
( )
=
( )
=
a
con b
b
>=
3, es claro que no es monotónica, ya que para cualquier perfil
P
,
P
y
P
, se cumple la propiedad necesaria de monotonicidad, pero la familia
de reglas elige otra alternativa diferente.
De acuerdo con la proposición 4, una regla de la familia de mayoría y sin res-
tricción en el dominio de preferencias no es monotónica. Por otro lado, la
proposición 2 dice que, si una regla es implementable en estrategias de Nash,
entonces es monotónica. Es decir, no puede pasar que sea implementable y no
monotónica. Por tanto, como corolario, se tiene el siguiente resultado:
Corolario 2. ∀ ∈ ℘ θ
P M P,
( )
no es implementable en equilibrios de Nash.
El primer resultado muestra que cualquier regla social de la familia de mayo-
ría, cuando cualquier perfil de preferencias es posible, no es implementable
en estrategias dominantes ni en equilibrios de Nash. Además, es manipulable
(existen incentivos a mentir), no es monotónica, no es dictatorial y cumple
propiedad de no veto (véase la demostración A1.3 en el anexo 1).
A. Cuando el gobierno central no es estratégico
(dice siempre la verdad sobre sus preferencias)
El siguiente paso es hacer modificaciones a los supuestos planteados y, de esa
manera, encontrar cuáles serían suficientes para que la votación dentro de los
OCAD sea implementable. El primer cambio que se hace es eliminar el supuesto
de que el gobierno central es estratégico. Es decir, el gobierno central siempre
va a reportar sus verdaderas preferencias y esto lo saben los demás agentes12.
12 Que el gobierno central siempre dice la verdad y no es estratégico significa que no existen transfor-
maciones monotónicas sobre sus preferencias.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
248
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Este es un supuesto que se debería cumplir por parte de un gobierno central,
pero muchas veces existen intereses que hacen que el mismo gobierno cen-
tral sea estratégico. El motivo de estudiar este supuesto es determinar si el
gobierno central tendría la capacidad de hacer los OCAD implementables con
el hecho de reportar siempre sus verdaderas preferencias. Esto sería en princi-
pio un supuesto esperado, dado que el gobierno central es el planeador de los
OCAD y de otro modo hubiera sido preferible elegir un mecanismo dictatorial.
Proposición 5:
∀ ∈ ℘
P sin transformaciones monotónicas sobre las prefe-
rencias del gobierno central, M P
( )
es no monotónica.
Demostración: se supone que M P
( )
es monotónica y sin transformaciones
monotónicas sobre las preferencias del gobierno central, hay 3 alternativas y
P es el siguiente:
P
a
a
a
P
a
a
a
P
a
a
a
MDg
OCAD
1
2
3
2
3
1
3
1
2
Según la definición de
M
, la solución de la regla del perfil anterior debe ser
P
( )
, que puede ser cualquiera de las 3 alternativas. Ahora, se suponen los
siguientes perfiles de preferencias:
En donde
P
es una transformación monotónica de P sobre a y P
3 es una
transformación monotónica de P sobre a1.
Se tiene por definición de
M
:
M P a M P a
θ θ
′″
( )
=
( )
=
2 3
Daniel Blandón Restrepo 249
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Se supone M P a
=
( )
=3. Como
P
es una transformación monotónica de
P sobre a3, se debería tener que M P a
θ′
( )
=3. Sin embargo, por definición
de
M
se tiene que M P a
θ′
( )
=2. Entonces, hay una contradicción y θ≠P a
( )
3.
Se supone ahora M P a
=
( )
=1. Como
P
es una transformación monotónica
de P sobre a1, se debería tener que M P a
θ″
( )
=1. Sin embargo, por definición
de
M
se tiene que M P a
θ′
( )
=3. Entonces, hay una contradicción y θ≠P a
( )
1.
Por tanto, la regla debe elegir a a2 ya que es la única que no genera una con-
tradicción M P a
( )
=2.
Como la regla es monotónica, la solución al siguiente perfil de preferencias
debe ser a2 ya que
P
es una transformación monotónica de P sobre a2.
.
Ahora, se supone el siguiente perfil de preferencias
P
P
a
a
a
P
a
a
a
P
a
a
a
M D g
OCAD
1
3
2
2
1
3
3
1
2
Según la definición de
M
, la solución de la regla del perfil anterior debe ser
P
( )
que puede ser cualquiera de las 3 alternativas. Ahora, se suponen los
siguientes perfiles de preferencias:
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
250
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
En donde
P
es una transformación monotónica de
P
sobre a y P
3 es una
transformación monotónica de
P
sobre a2.
Se tiene por definición de M P
( )
:
M P a M P a
θ θ
′″
( )
=
( )
=
1 3
Se supone M P a
=
( )
=
3. Como
P
es una transformación monotónica de
P
sobre a3, se debería tener que M P a
θ′
( )
=3. Sin embargo, por definición de
M
se tiene que M P a
θ′
( )
=1. Entonces, hay una contradicción y θ≠P a
( )
3.
Se supone M P a
=
( )
=
2. Como
P
es una transformación monotónica de
P
sobre a2, se debería tener que M P a
θ″
( )
=2. Sin embargo, por definición
de
M
se tiene que M P a
θ″
( )
=3. Entonces, hay una contradicción y θ≠P a
( )
2.
Por tanto, la regla debe elegir a a1 ya que es la única que no genera una con-
tradicción M P a
( )
=1.
Como la regla es monotónica, la solución al siguiente perfil de preferencias
debe ser a1 ya que
P
ɵ
es una transformación monotónica de P sobre a1.
( )
1
M P a=
ɵ
θ
.
Sin embargo
P P=
ɵ
por tanto
P
ɵ
pero
( )
( )
2 1
M P a y M P a= =
ɵ
θ θ
.
Por tanto, hay una contradicción y M P
( )
no es monotónica, inclusive sin
transformaciones monotónicas sobre las preferencias del gobierno central (es
decir, el gobierno central siempre dice la verdad)13.
13 Con la misma racionalidad de la nota de la demostración de la proposición 4, la demostración anterior
es aplicable a más de 3 alternativas.
Daniel Blandón Restrepo 251
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Nuevamente, los resultados son negativos, incluso cuando el gobierno central
siempre dice la verdad. Por tanto, como corolario, se tiene el siguiente resultado.
Corolario 3: ∀∈ ℘P, sin transformaciones monotónicas sobre las preferen-
cias del gobierno central (gobierno central dice siempre la verdad), M P
( )
es
manipulable (sigue cumpliendo corolario 1) y no es implementable en estra-
tegias dominantes ni en equilibrios de Nash (no es monotónica y por la pro-
posición 2).
Analizando las demostraciones anteriores, los perfiles de preferencia que gene-
ran problemas se dan cuando no existe un consenso sobre las alternativas
entre por lo menos 2 agentes. Por tanto, una posible solución a los resultados
negativos anteriores podría ser la de “restringir el dominio de preferencias”, en
donde los perfiles de preferencias posibles sean un subconjunto de .
A. La regla de Condorcet
A partir de las demostraciones anteriores, se observa que los perfiles de prefe-
rencias que generan los contraejemplos son similares a lo que se conoce en la
literatura como la paradoja de Condorcet. Por eso, el siguiente paso a analizar
es la regla social de Condorcet, en la cual se debe observar si pertenece a la
familia de reglas de mayoría definida, y si eso es cierto, qué pasa si se elimi-
nan del dominio de preferencias aquellos perfiles de preferencias que caen en
la paradoja de Condorcet. Esto es relevante para determinar qué otros posi-
bles supuestos son suficientes para que el OCAD sea implementable, que son
las secciones que se estudian más adelante.
La “regla de Condorcet” dice que una alternativa es elegida si se compara
con todas las alternativas y el número de agentes que la prefiere es mayor al
número de agentes que no.
a P si b a A i N aPb i N bP a
C
i i
=
( )
{ } { }
ϕ ∀ ≠ ∈ ∈ ≥ ∈ : . Se habla de “para-
doja de Condorcet” cuando ϕ∅
CP
( )
=.
Debido a que la regla de Condorcet forma parte de la familia de reglas de mayo-
ría (véase la demostración en el anexo 2 A2.1), cumple con los corolarios 1, 2 y 3.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
252
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Por tanto, se denominará M P
C
( )
la regla de Condorcet adecuada al modelo,
es decir, con N
=
3. Así, el resultado es el siguiente corolario:
Corolario 4: ∀∈ ℘P M P
C
,
( )
es manipulable, cumple no veto, no es monotónica
y no es implementable inclusive si el gobierno central siempre dice la verdad.
Dado el resultado anterior, se quiere entonces restringir el dominio de prefe-
rencias para los casos donde siempre haya solución. El “perfil de preferencias
restringido o el dominio de preferencias de Condorcet” ℘⊆℘
C es el subcon-
junto de perfiles de preferencia tal que ∀∈ ℘ ϕ ≠ ∅P P
C C
,
( )
.
Se tiene, entonces, que la regla de Condorcet cumple no veto y que cuando se les
restringe el dominio a los perfiles de preferencias que tienen solución es mono-
tónica (Taylor y Pacelli, 2008). Utilizando el resultado de Maskin (Proposición 3),
resulta el siguiente corolario:
Corolario 5: ∀∈ ℘P M P
C C
,
( )
es implementable en equilibrios de Nash.
Este resultado sugiere que, con el fin de que los OCAD sean implementables,
se deben modificar supuestos que restrinjan el dominio de preferencias de
manera que haya el equivalente a una solución de Condorcet, y esto es lo que
se busca en la siguiente sección del artículo.
IV. El dominio de preferencias unimodales
El resultado anterior es positivo, pero abre la pregunta sobre cómo restrin-
gir el dominio de preferencias. En general, en la literatura, se supone que las
preferencias son unimodales. Las preferencias unimodales asumen que existe
un orden lineal (o espacial) de las alternativas, y que para cada agente
existe una alternativa que representa el pico de satisfacción, y que la satis-
facción aumenta a medida que se acerca ese pico.
Se supone, entonces, que las preferencias sobre los proyectos para cada uno
de los dirigentes son unimodales y que el orden lineal con el cual se determi-
nan las preferencias de los agentes puede ser parte de cualquier espacio lineal,
como el impacto del proyecto, su ubicación, el tiempo que toma, el costo, la
rentabilidad, espectro político del proponente del proyecto, entre otros.
Daniel Blandón Restrepo 253
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Con fines motivacionales, tendría sentido hablar de preferencia según la ubica-
ción geográfica, ya que cada gobernante prefiere más los proyectos a medida
que se acercan a su territorio. Este supuesto tiene sentido, ya que el proyecto
más preferido es el de su propio territorio y a medida que se aleja la ubicación
del proyecto, menos impacto tiene para la zona que gobierna el político, por lo
que debería ser menos preferido. En cuanto al gobierno central, este supuesto
no es defendible y se eliminará más adelante en el artículo14.
La relación de preferencia P P P P
M D g
OCAD
, ,
( )
es unimodal con respecto al orden
lineal en A, si existe una alternativa a A
i
s (la alternativa pico del agente i)
con la propiedad que Pi está creciendo con respecto a en b A a b
i
s
∈≥:
{ }
y decreciendo con respecto a en b A b ai
s
∈ ≥:
{ }
. Esto es, si a c b
i
s
≥ >
entonces c P b si b c a
i i
s
y > ≥ entonces c P b
i
. El conjunto de los perfiles
de preferencias unimodales se denominará ℘⊆℘
S.
En la figura 2 se observa un ejemplo de preferencias unimodales en donde hay 5
proyectos. El municipio del alcalde está cerca (o es del municipio) del proyecto 3
a a
i
s=
( )
3 y entre más cerca una alternativa esté de a3 es más preferida15.
En este caso las preferencias son de la siguiente manera: a P a P a P a
i i i3 2 1 4
P a
i 5. En el eje vertical se representan las preferencias, como si se tratara de
un ranking. Es importante aclarar que el eje horizontal no mide la distancia
entre proyectos, si no el orden en el que se encuentran. Por tanto, es posible
que el proyecto 4 sea menos preferido que el 1. Lo que si no es posible es que
el 5 sea preferido al 4, o el 1 preferido al 2.
14 Es importante aclarar que las preferencias basadas en la ubicación geográfica es un subconjunto de
todas las posibles preferencias unimodales. Los resultados que se presentan en este documento cumplen
para cualquier tipo de preferencias unimodales; sin embargo, se utiliza la ubicación geográfica como
un ejemplo defendible del supuesto.
15 Para esta sección, los resultados no se pueden extender a alternativas que representan subconjuntos
de proyectos. La razón es que los subconjuntos de proyectos no se pueden expresar en un orden lineal.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
254
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Figura 2. Preferencias unimodales
1
2
3
4
5
a1 a2 a3 a4 a5
P
A
Fuente: elaboración propia.
A. La regla de mayoría en el dominio
de preferencias unimodales
Se define ak
s como la “alternativa pico del agente”
k N
como su alterna-
tiva más preferida, y el agente
k N
será el “agente mediano” con el perfil
si P si i N a a Ny i N a P a N
k
s
k
s
k
s
i k
s
∈≥ ≥ ∈ ≥
{ } { }
2 2 (Mas-Collel, Whinston
y Green, 1995).
Con preferencias unimodales, la alternativa favorita del agente mediano vence
uno a uno a cualquier otra alternativa en una votación de mayoría (Easley y
Kleinberg, 2010). Esto quiere decir que, si se compara la alternativa pico del
agente mediano con cualquier otra alternativa, el número de agentes que van
a preferir la primera es mayor a los que prefieren la otra alternativa. Esto es
consistente con la definición de familia de reglas de mayoría.
Daniel Blandón Restrepo 255
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Por tanto, la “regla de mayoría en el dominio de preferencias unimodales”
M P
s
( )
elige la alternativa pico del agente mediano ∀∈ ℘ ⊆℘P M P a
S S
k
s
,
( )
=
en donde k es el agente mediano. Esto es conocido como el “teorema de
la mediana”.
Black (1948) y Downs (1957) muestran que con preferencias unimodales, la
paradoja de Condorcet no ocurre, y que el resultado del teorema de la mediana
es el mismo ganador de Condorcet. Esto es equivalente a decir que con prefe-
rencias unimodales se restringe el dominio de preferencias, de tal modo que
siempre hay solución de Condorcet. Siguiendo el corolario 5, se entiende que:
Corolario 6: ∀∈ ℘P M P
S C
,
( )
cumple monotonicidad y es implementable en
equilibrios de Nash.
De acuerdo con lo anterior, una definición equivalente del teorema de la mediana
con preferencias unimodales es la regla de Condorcet ∀∈ ℘ ⊆℘P a M P
S S
,=
( )
si y solo si ∀ ≠ ∈ ∈ ≥ ∈ b a A i N aP b i N bP a
i i
:
{ } { }
. Por tanto, dado que
Condorcet pertenece a la familia de reglas de mayoría (anexo 2, proposición
A2.1), implica que la regla de mayoría en el dominio de preferencias unimo-
dales también pertenece a la familia de reglas de mayoría.
Siguiendo el ejemplo anterior y suponiendo que existen 3 agentes, 5 alterna-
tivas y las siguientes preferencias unimodales, se tiene que el agente mediano
es el que tiene como pico el proyecto 2. Para completar el ranking resultado,
se elimina la alternativa del agente mediano y se repite el procedimiento con
las restantes. Y así, iterativamente, hasta que no queden más alternativas.
Iterando la regla de mayoría definida, el ranking resultado YM P
S
( )
para el ejem-
plo es a P a P a P a P a
M M M M
2 3 4 1 5
.
Según Nehring y Puppe (2006), si las preferencias son unimodales, entonces la
única regla que es neutral, anónima, no dictatorial y no manipulable es selec-
cionar la alternativa favorita del agente mediano. Siguiendo entonces la pro-
posición 1 de Maskin (1982), se tiene el siguiente corolario:
Corolario 7: ∀∈ ℘P M P
S S
,
( )
es implementable en estrategias dominantes.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
256
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Figura 3. Preferencias unimodales para tres agentes
1
2
3
4
5
a1 a2 a3 a4 a5
P
A
Fuente: elaboración propia.
Proposición 6: ∀∈ ℘PS, la iteración de aplicar M P
S
( )
es no manipulable.
Demostración: se va a demostrar que si pasa que a P b y M P P
i
S
i i
,
( )
y implica
b P a
M
, (donde
P
M representa el orden de preferencias del ranking resul-
tado de aplicar la regla de mayoría) entonces no existe P P P
i i
′ ′ −
=
{ }
, tal que
M P
P
s
i i
′−
,
( )
implique a P b
M
. De esa manera, no existe un orden de prefe-
rencias que mejore la situación del agente i (si puede pasar que lo empeore)
y, por tanto, no existen incentivos a mentir, es decir, es no manipulable. En ese
caso se cumpliría no manipulación, ya que, sabiendo que no podría pasar que
M P P P M P P
S
i i i
S
i i
′− −
, ,
( ) ( )
se cumple la definición de no manipulación.
Según lo anterior, se tiene que la regla de mayoría con preferencias unimodales
es equivalente a la regla de Condorcet y además siempre existe solución. Se
supone que ∃−
i tal que a P b y M P P
i
S
i i
,
( )
implica b P a
M
. De acuerdo con la
definición de la regla de Condorcet, como se eligió primero b que a, quiere decir
que j N bP a j N aP b
j j
∈≥ ∈
{ } { }
. Así cambie de preferencias, no podrá
alterar el signo de la desigualdad, ya que no puede aumentar el lado derecho
Daniel Blandón Restrepo 257
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de la desigualdad porque el agente forma parte de esos agentes. Esto implica
que no existe P P P
i i
′ ′ −
=
{ }
, tal que j N aP b j N bP a
j j
∈ | ′≥ ∈ | ′
{ } { }
y por
tanto, no puede pasar por la definición de la regla de Condorcet que M P P
S
i i
′−
,
( )
implique a P b
M
. En otras palabras, se demostró que no hay ningún perfil de
preferencias que genere un cambio positivo en cualquier agente y la regla es
entonces no manipulable.
Utilizando las proposiciones 1 y 6 se llega al siguiente corolario:
Corolario 8: ∀∈ ℘PS, la iteración de aplicar M P
S
( )
para obtener el ranking
de proyectos YM P
S
( )
en los OCAD es implementable en estrategias dominantes.
Esto quiere decir que la regla de mayoría que elige la alternativa de la mediana
iterativamente con preferencias unimodales es implementable en estra-
tegias dominantes.
V. Votaciones de dos etapas
Ya teniendo un resultado positivo que muestra que la regla de mayoría dentro
de los OCAD es implementable en estrategias dominantes y equilibrios de Nash
cuando las preferencias son unimodales, se quiere mirar qué pasa cuando se
incluye la elección de los alcaldes. Es importante recordar que en los OCAD
regionales y departamentales, los alcaldes presentes fueron previamente ele-
gidos por mayoría. A esa elección se le conoce como primera etapa, al OCAD
como la segunda etapa y al mecanismo completo se denominará votación de
2 etapas. La segunda etapa mantendrá la modelación de la sección anterior,
donde la regla de mayoría está dada por la alternativa del agente mediano.
Para fines de este artículo, se supone que los proyectos son conocidos antes
de la primera etapa, los alcaldes mantienen sus preferencias entre la primera y
segunda etapa, existe una función de desempate (como en la familia de reglas
de mayoría) que elige un alcalde en caso de que no haya mayoría definida y
el alcalde ganador impone sus preferencias en el OCAD.
Proposición 7: ∀∈ ℘PS, la votación de 2 etapas es manipulable.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
258
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Demostración: se supone que existen tres alcaldes con las preferencias des-
critas en la figura 3 y que deben elegir a un alcalde que los represente en
el OCAD. Las preferencias del gobierno departamental y gobierno central se
muestran en la figura 4:
Figura 4. Preferencias del gobierno departamental y gobierno central
1
2
3
4
5
a1 a2 a3 a4 a5
P
A
Fuente: elaboración propia.
Se va a demostrar que, sin importar qué alcalde se elija, van a existir incen-
tivos para no reportar las verdaderas preferencias por parte de los alcaldes
y, por tanto, la regla es manipulable16. Para la demostración, no es necesario
distinguir en la figura 4 de quién son las preferencias entre el gobierno depar-
tamental y el gobierno central.
El primer paso es mostrar que, dadas las preferencias del gobierno departa-
mental y el gobierno central expresadas en la figura 4, el ranking de proyectos
elegidos estará determinado por las preferencias del gobierno municipal. Esto se
muestra utilizando la definición de la regla de Condorcet. Dadas las preferencias,
16 Los únicos supuestos que se necesitan para la demostración son consistencia en el tiempo con respecto
a las preferencias y para el caso de tres alcaldes, si dos de ellos tienen las mismas preferencias, alguno
de los dos será el elegido.
Daniel Blandón Restrepo 259
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
se tiene que si aP a
g entonces bP a
D. Por tanto, sin contar a los municipios, se
tiene que ∀ ≠ ∈ ∈ | ∈ |b a A i N aP b i N bP a
i i
{ }
=
{ }
=1. El gobierno muni-
cipal, de acuerdo con sus preferencias, puede sumar a cualquiera de los 2 lados
y la alternativa que prefiera será la elegida por la regla de Condorcet. Además,
se sabe por la proposición 6 que este juego es no manipulable y, por tanto,
todos los agentes van a decir la verdad.
Caso 1: el alcalde 1 es el ganador de la primera etapa. En ese caso el orden de pro-
yectos final estará dado por sus preferencias y será a P a P a P a P a
M M M M
1 2 3 4 5
.
Sin embargo, al alcalde 3 le puede ir mejor si el alcalde 2 los representa, ya
que el orden de proyectos sería: a P a P a P a P a
M M M M
2 3 4 5 1
y se supone le da
mucho peso al proyecto de su municipio a3
( )
y, por tanto, prefiere esta última.
De esa manera, el alcalde 3 prefiere reportar sus preferencias igual a las del
alcalde 2 para que gane cualquiera de los 2. Quiere decir que es manipulable.
Caso 2: el alcalde 2 es el ganador de la primera etapa. En ese caso el orden de pro-
yectos final estará dado por sus preferencias y será a P a P a P a P a
M M M M
2 3 4 5
1
.
Sin embargo, al alcalde 1 le puede ir mejor si el alcalde 3 los representa, ya
que el orden de proyectos sería: a P a P a P a P a
M M M M
3 4 2 1 5
y se supone le da
mucho peso al proyecto de su municipio a1
( )
y por tanto, prefiere esta última.
De esa manera, el alcalde 1 prefiere reportar sus preferencias igual a las del
alcalde 3 para que gane cualquiera de los 2. Quiere decir que es manipulable.
Caso 3: el alcalde 3 es el ganador de la primera etapa. En ese caso, el orden de pro-
yectos final estará dado por sus preferencias y será a P a P a P a P a
M M M M
3 4 2 1 5
.
Sin embargo, al alcalde 2 le puede ir mejor si el alcalde 1 los representa, ya
que el orden de proyectos sería: a P a P a P a P a
M M M M
1 2 3 4 5
y se supone le da
mucho peso al proyecto de su municipio a2
( )
y, por tanto, prefiere esta última.
De esta manera, el alcalde 2 prefiere reportar sus preferencias igual a la del
alcalde 1 para que gane cualquiera de los 2. Quiere decir que es manipulable.
Dado que se cubren todos los casos posibles, se demuestra que cuando hay 2
etapas las votaciones son manipulables.
Al ser el mecanismo manipulable y utilizando la proposición 1, se llega al
siguiente corolario:
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
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Corolario 9: ∀∈ ℘PS, la votación de 2 etapas no es implementable en estra-
tegias dominantes.
El resultado anterior se deriva de tener alcaldes que van a representar los
municipios, pero que buscan imponer sus preferencias y no las de todos
los municipios. Se quiere estudiar, entonces, qué pasa si todos los alcaldes par-
ticipan en la elección de los proyectos. Es decir, si el resultado del gobierno
municipal, o el resultado de la primera etapa, es el agregado de todos los
alcaldes correspondientes.
De ahora en adelante, se asume que la primera etapa ya no elige un alcalde,
sino un ranking de proyectos iterando la regla de mayoría del agente mediano.
En la segunda etapa el OCAD permanece igual en donde ahora las preferen-
cias del gobierno municipal están dadas por el ranking de la primera etapa y
el “nuevo mecanismo de votación de 2 etapas” es la unión de estas 2 etapas.
Proposición 8: ∀∈ ℘PS, el nuevo mecanismo de votación de 2 etapas es no
manipulable.
Demostración: de acuerdo con la proposición 6, se sabe que la segunda etapa
es no manipulable. La misma demostración puede ser aplicada a más de 3
agentes (inclusive si el número de alcaldes es par, ya que se puede definir la
alternativa ganadora en caso de empate, por ejemplo, que gane siempre la de
la izquierda) y, por tanto, también será no manipulable para la elección del
ranking agregado de los alcaldes en la primera etapa. En otras palabras, se
tiene que un alcalde no puede cambiar su estrategia, de modo que un proyecto
preferido por él cambie de posición en el ranking agregado por uno menos pre-
ferido. De igual modo, en la segunda etapa, se sabe que el “ranking agregado”
de los alcaldes no puede cambiar su estrategia de manera que un proyecto
preferido por el “ranking agregado” cambie de posición en el resultado final
de las votaciones. Se quiere demostrar que un agente que vota en la primera
etapa no puede modificar sus estrategias de tal manera que el resultado de
la segunda etapa sea mejor.
Se va a demostrar que si pasa que a P b M P P
i
S
i i
y ,
( )
implica b P a
M
2,
(donde
P
M2 representa las preferencias del ranking agregado de los agentes
mediante la regla de mayoría en la segunda etapa) no existe
P P
P
i i
′= ′ −
,
{ }
Daniel Blandón Restrepo 261
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tal que M P P
S
i i
′−
,
( )
implique a P b
M
2. De esa manera, no existe un orden de
preferencias que mejore la situación del agente i (si puede pasar que lo
empeore) y, por tanto, no existen incentivos a mentir, es decir, es no manipu-
lable. En ese caso se cumpliría la no manipulación, ya que sabiendo que no
podría pasar que M P P P M P P
S
i i i
S
i i
′− −
, ,
( ) ( )
se cumple la definición: ϕ no es
∀
∈ ∀ ′∈℘−
s manipulabl
e si solo si i N P P M P P P
i i i
S
i i i
, ,
( )
MM P P
S
i i
′−
,
( )
.
Suponiendo que a P b M P P
i
S
i i
y ,
( )
implica b PM
2 de acuerdo con la definición
de mayoría establecida con preferencias unimodales, como se eligió primero
b a a, quiere decir que en la segunda etapa j N bP a j N aP b
j j
∈ | ≥ ∈ |
{ } { }
.
Existen entonces 2 casos, que a P b b P a
M M
o
1 1 . En el primer caso se utilizaría
la misma demostración de la proposición 6 y se concluye que no puede modi-
ficar los resultados, ya que es imposible aumentar el conteo del lado derecho
de la desigualdad anterior.
Suponiendo que bP a
M1 , sería posible cambiar el signo de la desigualdad si el
agente i es capaz de lograr que aP b
M1
. Pero de acuerdo con la demostra-
ción de la proposición 6, como a P b
i
se sabe que eso no es posible, ya que
ese sistema de una etapa es no manipulable.
Esto implica que no existe P P P
i i
′ ′ −
=
{ }
, tal que en la segunda etapa suceda
j N aP b j N bP a
j j
∈ | ′≥ ∈ | ′
{ } { }
y, por tanto, no puede pasar por la defi-
nición de la regla de mayoría definida que M P P
S
i i
′−
,
{ }
implique aP b
M2
. En
otras palabras, se demostró que no hay ningún orden de preferencia que genere
un cambio positivo en cualquier agente así se tengan 2 etapas, y la regla es
entonces no manipulable.
Demostrando que la regla de mayoría en los OCAD sin elección de alcaldes
previa es no manipulable, y sabiendo que se puede elegir cualquier alternativa
(sobreyectiva) y utilizando las proposiciones 1 y 2, se llega al siguiente corolario:
Corolario 10: ∀∈ ℘PS, el nuevo mecanismo de votación es implementable
en equilibrios dominantes y, por tanto, en equilibrios de Nash y monotónica.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
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Es decir, la regla de mayoría en los OCAD con preferencias unimodales,
incluyendo a todos los alcaldes en la elección de proyectos en una etapa
previa que agregue sus preferencias en una sola, es implementable en estra-
tegias dominantes.
Al comienzo del artículo se había asumido que las preferencias de los gobier-
nos departamentales y gobiernos municipales elegidos eran una preferencia
agregada y se suponía que estaban dadas. A partir de los resultados anteriores,
se puede concluir que la forma adecuada de agregar las preferencias es ite-
rando, por medio de mayoría, con el dominio de preferencias unimodales (eli-
giendo la alternativa de la mediana o el ganador Condorcet) y se mantienen los
resultados encontrados. Por tanto, dado que cada nivel de gobierno es repre-
sentado por varios agentes, se recomienda que se utilice dicho mecanismo
para determinar la preferencia de proyectos que será finalmente el voto de
cada nivel. Esto implica que la primera etapa no se utilice para elegir alcaldes
si no de una vez para votar por proyectos, y de ahí salga la preferencia agre-
gada para la votación en el OCAD.
A. Cuando el gobierno central no tiene
preferencias unimodales
El supuesto sobre las preferencias unimodales con la ubicación geográfica, ya
utilizado, es creíble para los gobiernos municipales y departamentales. Cada
uno va a preferir proyectos que los impacten en mayor medida y estos son los
más cercanos geográficamente. Sin embargo, el gobierno central no tiene una
preferencia geográfica específica, ya que debe procurar estar en todo el terri-
torio nacional. Por eso se van a estudiar los resultados encontrados, asumiendo
preferencias unimodales para los gobiernos municipales y departamentales y
cualquier tipo de preferencias para el gobierno central. El nuevo conjunto de
perfiles de preferencias es ℘ ℘ ℘ ℘ ⊆℘
−S g S
M
S
M M
, ,
( )
.
Para los siguientes resultados se continúa suponiendo que en la primera etapa
se eligen proyectos y no alcaldes. Es importante aclarar que con ℘−S g, la regla
de Condorcet puede caer en la paradoja de Condorcet, por lo que la definición de
la regla de mayoría es elegir la alternativa de la mediana de los proyectos más
preferidos de los agentes. De igual manera, el ranking agregado se elabora
Daniel Blandón Restrepo 263
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eliminando la alternativa ganadora y aplicando la regla a un perfil de prefe-
rencias que excluye las alternativas que ya fueron elegidas.
Proposición 9: ∀∈ ℘ ℘ ℘ ℘
− θ
P M P
S g S
M
S
M M
, , ,
( )
( )
es manipulable y no imple-
mentable en equilibrios de Nash.
Demostración: la demostración se basa en la demostración de la proposi-
ción 4. Asumiendo que la ubicación lineal de los proyectos es en este orden
a a a
1 2 3
, y y que el gobierno central es el agente g, se observa que durante
toda la demostración los agentes M D
OCAD
y siempre conservan las preferen-
cias unimodales. Por tanto, las conclusiones son las mismas y entonces, si se
asume que el gobierno central no tiene preferencias unimodales, se tiene que
la regla de mayoría en los OCAD no es monotónica y por tanto, no es imple-
mentable en equilibrios de Nash. Como no es implementable en equilibrios de
Nash, no lo es en dominantes (condición más estricta) y utilizando la propo-
sición 1 de Maskin, se tiene entonces que es manipulable.
Proposición 10: ∀∈ ℘ ℘ ℘ ℘
−
PS g S
M
S
M M
, ,
( )
sin transformaciones monotóni-
cas sobre las preferencias del gobierno central, el nuevo mecanismo de vota-
ción de 2 etapas no es manipulable.
Demostración: primero se va demostrar que si un agente tiene preferencias
unimodales, sin importar el tipo de preferencias de los demás agentes, y si se
elige la alternativa de la mediana, decir la verdad es una estrategia débilmente
dominante. Para este agente existen 2 casos:
Caso 1. Su alternativa preferida está en la mediana. En ese caso, es la alter-
nativa elegida y no hay incentivo alguno a mentir, ya que en cualquier otro
escenario estaría peor o igual.
Caso 2. Su alternativa no está en la mediana y por tanto no es elegida. Sin
pérdida de generalidad se supone que la mediana a a
M i
s
es su alternativa
preferida. Si el agente modifica sus preferencias de modo que su b a
i
s
M
,
esta seguirá siendo la mediana y por tanto el agente estará igual y no tendrá
incentivos a mentir. Si por el contrario b a
i
s
M
, el proyecto de la mediana va
a cambiar por aM y por definición de mediana tiene que pasar que a a
M M′≥.
Dado que las preferencias son unimodales para este agente y su pico ai
s
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
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a
a
M M
≤ ≤
′, por definición a P a
M i M
y por tanto no tiene ningún incentivo a repor-
tar preferencias a Pb
M i i
s tal que representen b a
i
s
M
.
De esta manera, se demuestra que un agente que tiene preferencias unimodales
no tiene incentivos para mentir cuando se elige la alternativa de la mediana.
Esto es cierto entonces para los gobiernos municipales y departamentales. Sin
embargo, teniendo las conclusiones de la proposición 9, se sabe que el gobierno
central tiene incentivos para mentir. Pero como el supuesto de ahora es que
el gobierno central no es estratégico y siempre reporta la verdad, se concluye
que las votaciones no son manipulables.
El resultado anterior se puede extender a que el ranking agregado es no mani-
pulable. Se utiliza la misma estrategia para la demostración de la proposición 6.
Se supone que aP b bP a
i
M
y , quiere decir que b fue una alternativa de la
mediana antes que a. Para que b deje de ser mediana, el agente i debe reportar
unas preferencias con un pico más alejado que b de a que por ser preferencias
unimodales será peor que como está. Por tanto, no tiene ningún incentivo a
mentir y entonces el ranking agregado con las especificaciones planteadas es
no manipulable.
Dado que no es manipulable cuando el gobierno central siempre dice la verdad,
sabiendo que se pueden elegir todas las alternativas (sobreyectiva) y utilizando
las proposiciones 1 y 2 de Maskin, se tiene el siguiente corolario:
Corolario 11: ∀∈ ℘ ℘ ℘ ℘
−
PS g
M
S
M
S
M
, ,
( )
, sin transformaciones monotónicas
sobre las preferencias del gobierno central, el nuevo mecanismo de vota-
ción de 2 etapas es implementable en equilibrios dominantes. Además, por
ser implementable en equilibrios dominantes lo es en equilibrios de Nash y
es monotónica.
Es decir, con preferencias unimodales, el gobierno central no siendo estratégico
y todos los alcaldes previamente votando por proyectos, la regla de mayoría
que elige la alternativa del agente mediano es implementable.
VI. Conclusiones
La nueva Ley 1530 del 2012 de regalías determinó que, por mayoría, por
medio de los OCAD (triángulos de buen gobierno), los gobiernos municipales,
Daniel Blandón Restrepo 265
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los gobiernos departamentales y el gobierno central elegirán los proyectos a
financiar con los recursos de las regalías. Existe toda una familia de reglas
sociales que se pueden catalogar como mayoría y se caracterizan por elegir
una alternativa cuando es la más preferida por más de la mitad de los agentes
(en este caso es 2). La diferencia entre cada una de las reglas de esta familia
se da en los casos en que no existe tal alternativa más preferida por mínimo
2 agentes y hay que determinar un desempate.
El primer resultado que se encontró es que cualquier regla de la familia de mayo-
ría, para el caso de los OCAD, no es implementable ni en equilibrios de Nash,
ni en estrategias dominantes. Además, es manipulable, no es monotónica y
cumple propiedad de no veto. Incluso si se supone que el gobierno central
siempre dice la verdad, y que todos los demás agentes saben esto, las conclu-
siones siguen siendo las mismas. Este resultado es modificado si se restringe
el dominio de perfiles de preferencias.
El siguiente resultado muestra que la regla de Condorcet forma parte de la fami-
lia de reglas de mayoría. Además, cuando se restringe el dominio de preferen-
cias de manera que no exista la llamada paradoja de Condorcet, se solucionan
los problemas anteriores y la regla de Condorcet en los OCAD es implementable
y no manipulable.
Una de las formas de restringir el dominio de preferencias de manera que
haya solución con la regla de Condorcet, es suponer que las preferencias son
unimodales. En este supuesto, la regla de mayoría en los OCAD no es mani-
pulable y por tanto implementable. Para motivar el supuesto de preferencias
unimodales, se supone que las preferencias de proyectos se basan en la ubi-
cación geográfica, en donde se supone se prefiere un proyecto a medida que
esté más cerca del municipio o departamento del dirigente.
El resultado anterior se pierde cuando se agrega la etapa en la cual los alcal-
des votan para elegir quiénes van a representarlos en los OCAD. Cuando se
incluyen todos los alcaldes en las votaciones, se encuentra que nuevamente
el triángulo de buen gobierno es implementable y no manipulable. Se reco-
mienda entonces que la primera etapa no se realice para la elección de los
alcaldes, sino para votar por los proyectos y tener una preferencia agregada
para la votación del gobierno municipal dentro del OCAD.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
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Finalmente, se elimina el supuesto de las preferencias unimodales para el
gobierno central y se determina que vuelve a ser manipulable y no implemen-
table. Este resultado se soluciona suponiendo que el gobierno central siem-
pre dice la verdad y no actúa como un agente estratégico. Se recomienda, por
tanto, que el gobierno central, al reportar sus preferencias sobre los proyectos,
siempre diga la verdad y no cambie sus preferencias (véase el cuadro 1 con el
resumen de los resultados).
Cuadro 1. Resumen de resultado sobre implementación de los OCAD
Regla bajo triángulo de buen gobierno Implementable
Familia de reglas de mayoría —
Familia de reglas de mayoría y el gobierno dice la verdad —
Regla de Condorcet con el dominio restringido +
Regla de mayoría bajo preferencias unimodales* +
Regla de mayoría bajo preferencias unimodales con etapa previa de alcaldes —
Regla de mayoría bajo preferencias unimodales con todos los alcaldes
participando +
Familia de reglas de mayoría bajo preferencias unimodales solo para municipios
y departamentos y todos los alcaldes participando —
Regla de mayoría bajo preferencias unimodales solo para municipios y
departamentos**, todos los alcaldes participando y el gobierno dice la verdad +
* La regla de mayoría bajo preferencias unimodales elige la alternativa de la mediana entre las más preferidas
o la ganadora de la regla de Condorcet.
** La regla de mayoría bajo preferencias unimodales solo para municipios y departamentos elige la alternativa
de la mediana entre las más preferidas.
Fuente: elaboración propia.
Además, los resultados muestran que la regla de la familia de mayoría que
debe ser utilizada para asignar los proyectos elija la alternativa que lineal-
mente esté en la mediana de los proyectos preferidos de cada uno de los agen-
tes (para el trabajo se utilizó la ubicación geográfica, pero los resultados son
aplicables a cualquier espacio lineal que represente preferencias unimodales).
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Este proceso se repite para tener un ranking agregado de proyectos, que es
compatible con todos los resultados encontrados.
Quedan algunas preguntas abiertas para futuras investigaciones. Sería intere-
sante estudiar los equilibrios y predecir posibles resultados en las votaciones.
Esto implica el análisis de posibles coaliciones entre dirigentes y su efecto en
los proyectos elegidos. También se pueden relajar algunos supuestos y tener
conclusiones más cercanas a la realidad. Por ejemplo, suponer preferencias
unimodales en espacios bidimensionales daría mayor robustez a los resulta-
dos, ya que en la realidad los municipios están ubicados geográficamente en
un plano. De igual manera, incluir información incompleta y el dinero permite
acercarse más a la realidad del problema.
Agradecimientos
Agradecimiento muy especial a Paula Jaramillo Vidales por el asesoramiento
Andrés Zambrano, y los dos evaluadores anónimos de la revista Desarrollo y
Sociedad por todos los comentarios y observaciones.
Una versión preliminar de este artículo fue presentada como tesis de Maestría
de Economía PEG (Programa de Economía para Graduados), en la Facultad de
Economía de la Universidad de los Andes. Este artículo no tuvo financiadores.
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Anexos
Anexo 1
Proposición A1.1. M P
( )
es sobreyectiva.
Demostración: esto quiere decir que para cualquier alternativa existe, por lo
menos, una combinación de perfiles de preferencias tal que es elegida por la
regla social. Por definición del modelo se tiene ∀∈∀∈∃∈℘
∗
i N a A P i i
y
∀
≠∈
t
al que b a A aPb
i
, . Por definición de la familia de reglas de mayoría
se tiene entonces que M P a
θ∗
( )
=. Por tanto, se tiene que ∀∈∃∗
a A P i
:
θ
∗
M
P a
:
( )
= y se concluye que M P
( )
es sobreyectiva.
Proposición A1.2. M P
( )
no es dictatorial.
Demostración: se supone que M P
( )
si es dictatorial y sin pérdida de gene-
ralidad que el agente i es el dictador y su alternativa más preferida baja el
perfil de preferencias Pi es b. Por la definición del modelo se tiene tal que
∀∈∀∈∃∈℘
∗
a N A P i i
y a tal que ∀ ≠ ∈b a A aP b
i
, . Por definición de la
familia de reglas de mayoría M P P a
i i
θ
−
∗
,
( )
= ya que dos agentes prefieren la
alternativa a. Por tanto i no es dictador, hay una contradicción y se demues-
tra que M P
( )
no es dictatorial.
Proposición A1.3. M P
( )
satisface no veto y unanimidad.
Demostración: se supone que se tiene cualquier regla de la familia de mayoría
M P
( )
. Ahora se supone que existe un a tal que: i N b a A aP b
i
∈ |∀≠∈,
{ }
= =N1 2. Por definición de la regla de mayoría M P a
( )
= y cumple con
la definición de no veto.
Implementación en la asignación de proyectos con las regalías en Colombia
270
DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 233-270, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.6
Ahora para demostrar unanimidad, se supone que existe un a tal que i N∈ |
{
b a A aP b N
i
|
∀≠∈,
}
= = 3. Por definición de la regla de mayoría M P a
( )
=
y cumple con la definición de unanimidad.
Anexo 2
Proposición A2.1: con N=3, la regla de Condorcet forma parte de la familia
de reglas de mayoría definida anteriormente (suponiendo que si hay paradoja de
Condorcet elige una alternativa).
Demostración: se supone que ∀ ≠ ∈ ∈ ≥b a A i N aPb
i
,
{ }
2. Por la defi-
nición de P y como el número de agentes es 3, debe pasar que
∀ ≠
b
≠
∈ + ∈
a
i N aP b i N bP a
i i
,
{ } { }
=3. Como el primer término es mayor o igual
que 2, debe pasar que ∀ ≠ ∈ ∈ ≥ ∈ b a A i N aP b i N bPa
i i
,
{ } { }
. Por defini-
ción de Condorcet CP a
( )
=. En conclusión, se demostró que si pasa que
∀ ≠ ∈ ∈ ≥b a A i N aP b
i
,
{ }
2 entonces CP a
( )
=, que es la condición nece-
saria y suficiente para ser de la familia de reglas de mayoría definida ante-
riormente. Además, si hay paradoja se elige cualquier alternativa (supuesto)
se cumple que θ≠∅P
( )
.
