Modelos de rango incompleto
| Autor | Cristian Fernando Téllez Piñerez/Mario Alfonso Morales Rivera |
| Páginas | 114-143 |
Cap´
ıtulo 4
Modelos de rango incompleto
En este cap´ıtulo de estudia el problema de estimaci´on y pruebas de hip´otesis
para el modelo lineal general y=Xβ +ǫ, pero en el contexto del cap´ıtulo 3, es
decir, modelos donde la matriz Xno tiene rango columna completo, por tanto,
las ecuaciones normales tienen infinitas soluciones. Muchas de las propiedades
estudiadas en el cap´ıtulo 1 siguen siendo v´alidas en este cap´ıtulo, sin embargo,
hay diferencias sustanciales que se ir´an comentando a medida que aparezcan.
Se estudia en este cap´ıtulo el concepto de funci´on estimable, tratado levemente
al final del cap´ıtulo 3, tema de gran relevancia porque en los modelos de rango
incompleto la estimaci´on y prueba de hip´otesis solo tiene sentido en el contexto
de las funciones estimables.
4.1 Las ecuaciones normales
Como en el cap´ıtulo 1, suponemos que contamos con un vector de orden n×1
de respuestas, yque se explica seg´un el modelo lineal general
y=Xβ +ǫ(4.1)
con βes un vector p×1 de par´ametros, Xes una matriz de n×pde valores
conocidos que, como estudiamos en el cap´ıtulo 3, sus elementos son solo ceros
y unos, y ǫes un vector de t´erminos aleatorios de orden n×1. El vector ǫse
define como
ǫ=y−E(y)
de tal forma que E(ǫ) = 0y E(y) = Xβ .
Cada elemento de ǫse asume con varianza σ2y covarianza cero con cada otro
elemento, esto es
Var(ǫ) = E(ǫǫ′) = σ2In
114
115 Modelos lineales
luego ǫ∼(0, σ2In) y y∼(Xβ , σ2In)cuando se requiera probar hip´otesis y
construir intervalos de confianza asumiremos que el vector de errores sigue una
distribuci´on normal.
4.1.1 Las ecuaciones
Como en el cap´ıtulo 1, las ecuaciones normales correspondientes al modelo
(4.1) pueden derivarse por m´ınimos cuadrados, siguiendo los mismos pasos de
la secci´on 1.3.1 y se obtiene
(X′X)β◦=X′y(4.2)
a diferencia de (1.25) escribimos β◦en lugar de b
βpara hacer ´enfasis que β◦
no es un estimador del vector de par´ametros sino una soluci´on del sistema de
ecuaciones normales.
Ejemplo 4.1. Se est´an investigando cuatro catalizadores que pueden afec-
tar la concentraci´on de un componente en una mezcla liquida formada por
tres componentes (Montgomery 1991, p´ag. 83). Se obtuvieron las siguientes
concentraciones:
Catalizador
1234
58.20 56.30 50.10 52.90
57.20 54.50 54.20 49.90
58.40 57.00 55.40 50.00
55.80 55.30 51.70
54.90
Tablas 4.1: Datos de concentraci´on, (ejemplo 4.1)
Usaremos el modelo de una v´ıa de clasificaci´on (3.11), es decir,
yij =µ+αi+ǫij
donde yij es la concentraci´on obtenida en la j−´esima muestra sometida al
catalizador i, con i= 1,· ·· ,4 y j= 1,2,· ·· , ni,αies el efecto sobre la
concentraci´on del catalizador iyµes la media general, com´un a todas las
observaciones.
Para mostrar las ecuaciones normales escribimos las observaciones en t´erminos
de la ecuaci´on del modelo (4.1), en forma matricial. Para estos datos siguiendo
lo aprendido sobre la construcci´on de las variables dummy, la matriz Xes
X=
1515050505
1404140405
1303031303
1404040414
16×5
(4.3)
M.A. Morales C.F. Tellez
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