Muestreo con probabilidades proporcionales
| Autor | Andrés Gutiérrez Rojas |
| Páginas | 121-161 |
Cap´ıtulo 4
Muestreo con probabilidades
proporcionales
Es bien sabido que la estrategia de muestreo que utiliza un dise˜no de
muestreo aleatorio simple con el estimador de Horvitz-Thompson, es una
estrategia de muestreo ´optima, bajo ciertas formulaciones, si se tiene un
conocimiento a priori de que el comportamiento de la poblaci´on es sim´etri-
co con respecto a los r´otulos. En tales casos, la incorporaci´on de informa-
ci´on auxiliar no mejora la anterior estrategia.
Claes-Magnus Cassel (1976)
Las estrategias de muestreo implementadas en el cap´ıtulo anterior, utilizaban
m´etodos de selecci´on tales que la probabilidad de inclusi´on o probabilidad de
selecci´on es id´entica para todos los elementos de la poblaci´on y se estimaban los
par´ametros de inter´es utilizando el estimador de Hansen-Hurwitz, para dise˜nos
de muestreo con reemplazo y el estimador de Horvitz-Thompson, para dise˜nos de
muestreo sin reemplazo. Las anteriores estrategias no tienen en cuenta la variaci´on
innata de las caracter´ısticas de inter´es a trav´es de las unidades p oblacionales. Por
lo tanto, los anteriores estimadores, dada su construcci´on gen´erica y el principio
de representatividad, tender´an a poseer una gran variaci´on.
Raj (1968) afirma que, en cuesti´on de precisi´on, se puede tener una mayor ga-
nancia cuando se utilizan dise˜nos de muestreo con probabilidades desiguales. En
la mayor´ıa de los casos pr´acticos, la caracter´ıstica de inter´es no presenta un com-
portamiento uniforme con respecto a los r´otulos de la poblaci´on. Sin embargo,
cuando el marco de muestreo disponible para la selecci´on de la muestra contiene
adem´as de la identificaci´on y la ubicaci´on de los elementos en la poblaci´on, una
caracter´ıstica auxiliar continua disponible para to dos los elementos de la p oblaci´on
xk∀k∈U, es posible utilizar dise˜nos de muestreo que implementen m´etodos de
selecci´on cuyas probabilidades de selecci´on o inclusi´on, dependiendo del caso, sean
proporcionales al total de la caracter´ıstica auxiliar, tx.
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122 4. Muestreo con probabilidades proporcionales
4.1 Dise˜no de muestreo de Poisson
Este dise˜no de muestreo es una generalizaci´on del dise˜no de muestreo Bernoulli, en
donde las probabilidades de inclusi´on est´an dadas a priori de manera independiente
para cada individuo. Brewer (2002) indica que este dise˜no de muestreo no tuvo
originalmente ninguna implicaci´on pr´actica, porque el tama˜no de muestra no es
fijo, sino que fue utilizado de manera te´orica para describir las propie dades de otros
estimadores. El primer caso pr´actico se dio en la selecci´on de muestras de ´arboles
en unidades forestales; m´as adelante se aplic´o en el censo anual manufacturero en
Estados Unidos. Aunque este dise˜no de muestreo no utiliza informaci´on auxiliar
para la selecci´on de la muestra, sirve como punto de partida para examinar dise˜nos
de muestreo m´as complejos que s´ı lo utilizan.
Definici´on 4.1.1. Siendo πkun n´umero p ositivo, tal que 0< πk≤1, que re-
presenta la probabilidad de inclusi´on del k-´esimo elemento, el dise˜no de muestreo
Poisson se define de la siguiente manera
p(s) = Y
k∈s
πkY
k/∈s
(1 −πk)para todo s∈Q(4.1.1)
con Q, el soporte que contiene a todas las posibles muestras sin reemplazo.
Resultado 4.1.1. Para este dise˜no de muestreo, el soporte Qtiene cardinalidad
igual a
#(Q) = 2N
Ejemplo 4.1.1. En nuestra p oblaci´on ejemplo
U={Yves,Ken,Erik,Sharon,Leslie}
Las probabilidades de inclusi´on πkson 0.2, 0.5, 0.7, 0.5 y 0.9, resp ectivamente.
Las posibles muestra pueden ser de tama˜no 0, 1, 2, 3, 4 ´o 5. La probabilidad de la
muestra de tama˜no 0 es
(1 −0.2) ×(1 −0.5) ×(1 −0.7) ×(1 −0.5) ×(1 −0.9) = 0.006
Siguiendo esta misma analog´ıa, a continuaci´on se presenta el c´alculo l´exico-gr´afico
para las probabilidades de selecci´on de to das las posible muestras en el soporte de
este dise˜no de muestreo. Para las posibles muestras de tama˜no 1, 4 se tiene que
sus respectivas probabilidades son:
s p(s) | s p(s)
Yves 0.0015 | Yves, Ken, Erik, Sharon 0.0035
Ken 0.006 | Yves, Erik, Sharon, Leslie 0.0315
Erik 0.014 | Yves, Ken, Erik, Leslie 0.0315
Sharon 0.006 | Yves, Ken, Sharon, Leslie 0.0135
Leslie 0.054 | Ken, Erik, Sharon, Leslie 0.126
Total 0.0815 | Total 0.206
Las posibles muestras de tama˜no 2, 3 y sus resp ectivas probabilidades son:
4.1. Dise˜no de muestreo de Poisson 123
s p(s) | s p(s)
Yves, Ken 0.0015 | Yves, Ken, Erik 0.0035
Yves, Erik 0.0035 | Yves, Ken, Sharon 0.0015
Yves, Sharon 0.0015 | Yves, Ken, Leslie 0.0135
Yves, Leslie 0.0135 | Yves, Erik, Sharon 0.0035
Ken, Erik 0.014 | Yves, Erik, Leslie 0.0315
Ken, Sharon 0.006 | Yves, Sharon, Leslie 0.0135
Ken, Leslie 0.054 | Ken, Erik, Sharon 0.014
Erik, Sharon 0.014 | Ken, Erik, Leslie 0.126
Erik, Leslie 0.126 | Ken, Sharon, Leslie 0.054
Sharon, Leslie 0.054 | Erik, Sharon, Leslie 0.126
Total 0.288 | Total 0.387
Finalmente, la muestra de tama˜no 5, {Yves,Ken,Erik,Sharon,Leslie}, tiene pro-
babilidad 0.0315. N´otese que la suma de to das las posibles muestras es Pp(s) = 1.
4.1.1 Algoritmo de selecci´on
Bautista (1998) afirma que el conocimiento a priori de las probabilidades de in-
clusi´on de los elementos es tal que, en algunas o casiones, existen elementos de la
poblaci´on que deben ser observados obligatoriamente en la muestra, en estos casos
el valor de la probabilidad de inclusi´on de estos elementos es igual a uno (πk= 1).
Al subgrupo poblacional cuyos elementos tienen probabilidad de inclusi´on igual a
uno, se le conoce como subgrupo de inclusi´on forzosa. N´otese que el algoritmo de
selecci´on de muestra utilizado debe contemplar la inclusi´on en todas las posibles
muestras realizadas de todos los elementos del subgrupo de inclusi´on forzosa.
La selecci´on de una muestra con dise˜no de muestreo Poisson se realiza mediante
un algoritmo secuencial definido de manera similar que el algoritmo utilizado en
la selecci´on de muestras con dise˜no de muestreo Bernoulli.
1. Fijar para cada k∈Uel valor de la probabilidad de inclusi´on πktal que
0< πk≤1.
2. Obtener εkpara k∈Ucomo Nrealizaciones independientes de una variable
aleatoria con distribuci´on uniforme en el intervalo [0,1].
3. El elemento k-´esimo pertenece a la muestra con probabilidad πk. Es decir,
si εk< π el individuo k-´esimo es seleccionado.
Dado que εk∼Unif [0,1], se tiene que P r(εk< πk) = πkpara k∈U. Por tanto,
la inclusi´on de los individuos k-´esimo y l-´esimo, para k6=l, es independiente; sin
embargo, la distribuci´on de Ik(S) no es de tipo Binomial puesto que las variables
aleatorias Ik(S) no son id´enticamente distribuidas.
Resultado 4.1.2. Bajo muestreo Poisson, el tama˜no de muestra n(S)es una
variable aleatoria, tal que
E(n(S)) = X
U
πkV ar(n(S)) = X
U
πk(1 −πk) (4.1.2)
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