Procedimientos matemáticos en las técnicas de muestreo
| Autor | Rodrigo Estupiñán Gaitán |
| Páginas | 21-34 |
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Existen* varios procedimientos matemáticos para desarrollar las técnicas del muestreo estadístico, pero en esta oportunidad los métodos serán aquellos que se acomoden a una distribución normal de errores. Este se refiere a una distribución que adopta la forma de una curva simétrica (campana de Gauss), la cual es completamente definida por su desviación media (promedio aritmético) y la desviación estándar o típica (monto promedio en que se desvían todos los valores observados respecto del valor de la media aritmética).
La proporción de la población representada por cualquier curva normal es distribuida alrededor del valor medio o central respecto a la desviación estándar. De esta manera se tiene que aproximadamente el 68.3% de una población se encuentra situado entre más o menos una desviación estándar de la media (x ± o); el 95.5% de la población se halla ubicado entre más o menos dos desviaciones estándar de la media (x ± 2 o); y el 99.7% de la población está situado entre más o menos tres desviaciones estándar de la media aritmética (x ± 3 o).
Para entrar a estimar una característica (variable o atributo de la población) como el total de pesos ($) o la proporción de partidas defectuosas, debe calcularse el tamaño de la muestra requerido de acuerdo con las especificaciones que tenga el auditor sobre precisión y confianza, usándola relación de la desviación estándar de la población real a la desviación estándar dela población de muestreo. Aquí se hace referencia a dos distribuciones diferentes, representada cada una de ellas por una curva normal: la de la población real y la que se obtiene mediante estimaciones dePage 22muestras de dicha población. Esta última constituye una distribución por el muestreo y los valores obtenidos de ella son muestras estadísticas. Las desviaciones estándares de la media aritmética se relacionan matemáticamente, como se muestra enseguida en el caso de una población infinita (cuando N es determinable):
(1) [VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
Cuando σx es la desviación estándar de la distribución por muestreo de estimaciones de la medias es la desviación estándar de la población real que se muestra, y n es el tamaño de la muestra. Para una población finita se añade el factor de corrección finito, lo que da la siguiente relación
(2) [VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
Donde N es el número de partidas de población. Por ejemplo, si la población consta de 4.400 partidas y tiene una desviación estándar P de 40, y se toman muestras de 158, la desviación estándar de la distribución por muestreo será:
[VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
La estimación de la cantidad agregada o total (por ejemplo, en pesos) de una población es sencillamente Nv, y su distribución por muestreo tiene una desviación estándar que es simplemente N veces a desviación estándar de la distribución por muestreo de la media de la muestra, o
(3) [VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
En el ejemplo de una población de 4.400 partidas detallado anteriormente, la desviación estándar de estimaciones de muestras del conjunto de la población será:
[VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
Para especificar un tamaño de una muestra para una estimación del conjunto de una población, debe despejarse n en la fórmula matemática anterior. Esto da la siguiente ecuación.
(4) [VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
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Al ignorarse el factor de corrección finito, esto se convierte en la siguiente ecuación:
(5) [VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
Si a los dos ejercicios anteriores (2) y (3), les aplicamos un nivel de confianza del 95% (Z =1.96) se obtendrá el error de muestreo (d).
[VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
Las fórmulas matemáticas usadas para determinar el tamaño de la muestra contienen la desviación estándar de la población (ya definida anteriormente) desconocida objeto de muestreo. Por tal razón, se le debe estimar mediante una investigación prelimitar, pro-test o encuesta piloto, para efectuar estos cálculos de nuevo se recalca que el lector debe estar completamente familiarizado con los procedimientos matemáticos para calcular la desviación estándar, la media aritmética y lo tocante a la determinación y entendimiento de lo que es e implica la curva normal de distribución.
El auditor puede estimar el valor de P (desviación estándar) de varias maneras, entre ellas las siguientes:
-
Empleando un valor basado en la experiencia con poblaciones similares examinadas en el pasado;
-
Usando un valor obtenido de una muestra preliminar de la población real;
-
Empleando un valor basado en una estimación conservadora.
Los otros elementos de la fórmula (4) o (5) se determinan fácilmente, (N), puede contarse) o son especificados por el auditor. El auditor especifica el error de muestreo, simbolizado por (d) y el grado de confianza (Z) que se desee. Para tal supuesto, que el auditor desea estimar el importe total de un inventario de 5.500 partidas de mercancías, que se estima tienen un costo de $2.200.000.oo cuyo promedio por partida es de $400.oo. Aspira estar dentro de ± $55.000.oo del costo total verdadero, es decir, que para el promedio m y una confianza del 95.5% en la estimación (Z= 2.00). Esto equivale a que $55.000.oo deben cubrir el intervalo para el total a uno y otro lado de la media a la distancia de (2&). La experiencia sugiere que (&) para elPage 24promedio por partida de la población es $110.oo. Empleando estos valores en la fórmula matemática (4) obtenemos el siguiente resultado.
[VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
Con esta muestra de 445, se estima el valor total del costo medio de las partidas de la muestra multiplicado por 5.500 que es el número de partidas de inventario. Por ejemplo, si el costo medio de las partidas de la muestras es de $275.oo, la estimación del costo de la población total es de $275.oo X 5.500, lo que da como resultado $1.512.500.oo y tenemos confianza del 95% de que el costo real está situado dentro de ± $55.000.oo de esta cifra, es decir, entre $1.457.500.oo y $1.567.000.oo
Una vez tomada la muestra es posible comprobar la precisión alcanzada con información de la población real. Esto permite estimar mejor la desviación estándar de la población.
La estimación se obtiene al emplear la siguiente ecuación:
(6) [VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
Simbología o interpretaciones:
xi = Partidas individuales de la muestra
x = Valor medio de las partidas de la muestra
n = Tamaño de la muestra
N = Tamaño de la población
Σ = Signo de sumatoria
Existe similitud de esta fórmula con la empleada para el cálculo de una desviación estándar simple (&), añadido el factor de corrección finito cuando se conoce el tamaño de la población. Obteniéndose «S», se puede calcular la desviación estándar de la correspondiente distribución de la muestra:
(7) [VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
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Así mismo, la desviación estándar de la estimación del total de la característica en la población obtiene:
(8) [VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
Para el supuesto que una muestra de 445 dio una desviación estándar (s) de $999.oo. Se tiene entonces:
[VER FORMULA EN PDF ADJUNTO]
El objetivo del procedimiento fue estimar el costo del inventario dentro de ± $55.000.oo con un nivel de confianza del 95%. Una desviación estándar de $24.960.oo en la estimación significa que se puede creer que sobre una base del 95.5% la estimación está dentro de 2 x $24.960.oo, o sea...
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