Teoría de contar - Introducción a probabilidades - Estadística descriptiva. Regresión y probabilidad con aplicaciones - Libros y Revistas - VLEX 870024578

Teoría de contar - Introducción a probabilidades

AutorJesús Elías Aguilar Ibagué
Páginas155-186
155
UNIDAD IX
“Mientras menos se atreva, mayor será el riesgo de fracasar,
y mientras mayor es el riesgo a fracasar,
mayores son las probabilidades de tener éxito”.
John C. Maxwell.
Escritor y orador sobre liderazgo
Contenido
• Concepto, denición y uso de las probabilidades.
• Experiencia aleatoria, espacio muestral, diagrama de árbol, número facto-
rial, permutaciones, combinaciones.
• Tipos de probabilidad.
• Teorema de Bayes.
• Ejercicios de aplicación.
Competencias
El estudiante:
• Aplica la denición clásica para hallar probabilidades.
• Calcula la probabilidad de un evento, conocida la experiencia aleatoria.
• Clasica las propiedades según la escala de valores.
• Entiende y maneja los conceptos de permutaciones y combinaciones.
• Aplica el teorema de Bayes.
156
E ,     
9. Teoría de contar - Introducción a probabilidades
Las técnicas de contar estudian o determinan el número de resultados posi-
bles de una muestra o experimento. Las técnicas de conteo se usan para enu-
merar eventos difíciles de cuanticar físicamente.
9.1 Notación factorial
Dado un número (n) entero positivo mayor o igual que dos (2), llamaremos
factorial del número n al producto de los (n) primeros números enteros positi-
vos y se simboliza como (n!), es decir:
Si n ≥ 2, entonces n! = 1 . 2 . 3 . …………(n-2)(n-1)n
El factorial de un número se obtiene multiplicando el número por todos los
números naturales menores que él hasta llegar a 1.
Ejemplo. 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 o también: 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720
Ejemplo. 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040
Se acepta que: 1! = 1 y además que: 0! = 1.
9.2 Permutaciones
Es todo arreglo u ordenación de (n) elementos en un orden dado, que se pue-
den realizar con todos los elementos y cuya característica es el orden en que
se disponen.
El número de permutaciones de (n) objetos, tomados todos a la vez, se cal-
cula con:
n Pn = n!; corresponde al número de permutaciones posibles.
Ejemplo. Se tienen 5 pantalones de diferentes colores, para ser repartidos en-
tre cinco niños. ¿Cuál es número de arreglos diferentes que existen?
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 posibles arreglos
157
U IX.   
Ejemplo. Considere los números 1, 2 y 3; con ellos realizar las permutaciones
posibles.
Pn = n! = P3 = 3! = 3 * 2 * 1 = 6
9.3 Permutaciones con repetición
Las permutaciones con repetición (r) son un caso particular de las variaciones.
A continuación se presenta la fórmula que permite lograr el número de esta
clase de permutaciones.
Pn(r: r1 , r2 ) = n!
r1!r2!
Ejemplo. Si se tienen 9 elementos repartidos así: tres del primero (MMM), dos
del segundo (NN), tres del tercero (SSS) y uno del cuarto (T), ¿cuántas permu-
taciones son posibles?
P9(r: 3, 2, 3, 1) = 9! =9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 5.040
3!2!3!1! 3*2*1*2*1*2*2*1*1
9.4 Variaciones
Las variaciones hacen referencia a aquellas permutaciones donde los elemen-
tos no se toman en su totalidad, es decir, son permutaciones de (n) elementos
distintos, donde (r
la siguiente fórmula:
Vn
r = nPr =n!
(n-r)!
Ejemplo. ¿Cuántas cifras diferentes de 3 dígitos se pueden formar con los dígi-
tos del 0 al 9, usándolos una vez?
10V3 = V10
3 = 10*9*8*7! =10*9*8+7! = 720
(10 - 3)! 7!
Ejemplo. Hay cinco (5) pantalones de diferentes colores, para ser repartidos
entre tres (3) niños. ¿Cuál es el número de arreglos diferentes que se pueden
hacer?
158
E ,     
5V3 = 5P3 = n! =5! =5*4*3*2*1 =120 =120 = 60
posibles arreglos
(n - r)! (5-3)! 2! -2*1 -2
9.5 Combinaciones
Al contrario de las permutaciones, en las que interesa el orden de los elemen-
tos, en las combinaciones no interesa el orden.
Una combinación es un número de formas en que se pueden seleccionar (r)
elementos de un conjunto de (n) elementos diferentes.
Se llama número combinatorio m
r
()
de numerador (antecedente) m (entero
no negativo) y de denominador (consecuente) (r) (entero no negativo y tal
que (m r) y permite calcular el número de combinaciones de (n) elementos
diferentes tomados de (r) en (r). El valor de la expresión, es:
m
r
()
=m
r
c= mCr =
m!
r!(m - r)!
Ejemplo. Se desea nombrar una comisión de 4 personas de un grupo de 7
ingenieros. ¿Cuántas comisiones se podrán formar?
7
4
()
=
7
4
c =
7!
=
7!
=
5.040
=
5.040
=35
4!(7 - 4)! 4!3! (24)(6) 144
Ejemplo. Calcular los siguientes números combinatorios: a) 6
2
()
b) 7
4
()
a) 6
2
()
=6! =6*5*4! =6*5 =30 =15
2!(6 - 2)! 2!4! 2! 2
b) 7
4
()
=7*6*5*4*3! =7*6*5*4 =840 =10
4!3! 4! 24
Ejemplo. Para ganar un examen, un estudiante debe contestar 7 de 12 pre-
guntas. ¿Cuántas maneras tiene el estudiante de seleccionar las 7 preguntas?
12C7 = n! =12! =12! =12*11*10*9*8 =95.040 =792 maneras
(n-r)!r! (12-7)!7! 5!7! 5! 120
159
U IX.   
9.5.1 Propiedades de los números combinatorios
A. Todo número combinatorio de denominador nulo es igual a la unidad, es
decir, M
0
()
= 1.
B. Todo número combinatorio cuyo denominador sea la unidad es igual a su
numerador, es decir, M
1
()
= M.
C. Todo número combinatorio cuyo numerador y denominador sean iguales es
igual a la unidad, es decir, M
M
()
= 1.
D. Dos números combinatorios con numeradores iguales y denominadores ta-
les que sumados totalicen el numerador común son iguales, es decir, si N1
+ N2 = M, entonces:
M
N1
()
=M
N2
()
oM
N1
()
=M
M -N1
()
9.6 Ejercicios de aplicación No. 9
1. Hallar el factorial de:
a) 10! b) 8! c) 5! d) 3!
2. Calcular el valor de:
a) 13! / 11! b) 7! / 10! c) 16! / 14! d) 8! / 9!
3. Hallar el valor de n, en cada caso.
a) [(n - 2)! / (n - 1)!] = 1 / 9
b) [(n - 1)! / (n + 1)!] = 1 / 12
c) [(n + 4)! / (n + 2)!] = 2
4. Hallar en cada caso el valor de X.
a)
(
5X + 3
)
=
(
5X+3
)
13 15
160
E ,     
b)
(
35
)
=
(
35
)
X X - 9
c)
(
8X
)
=
(
8X
)
X + 5 5X - 1
9.7 Ejercicios de aplicación No. 9-1
Permutaciones
1. En una de las universidades de la ciudad de Cali, a los estudiantes se les cla-
sica con las letras A, B, C, D y E. ¿De cuántas maneras se les puede clasicar
si los estudiantes obtienen todos calicaciones diferentes?
2. Si un futbolista conoce 8 jugadas diferentes y si el entrenador lo instruye
para que juegue las 8 jugadas sin que ninguna se repita, ¿qué libertad le
queda al jugador?
3. Una señora invita a cenar a 7 amigos y después de sentarse ella, ¿de cuántas
maneras se pueden sentar sus invitados?
4. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra PESAR?
5. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra ARA-
CATACA?
6. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra TITIRIBI?
Variaciones
1. Si un estudiante tiene 9 libros y desea ordenar 5 de ellos sobre un estante,
¿de cuántas maneras distintas puede hacerlo?
2. ¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 3, 5, 7, 8
y 9 si ninguno puede aparecer más de una vez en cada número?
3. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse con las 27 letras del alfabeto?
4. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 10 banderas distintas,
levantando al menos 3 y no más de 6 banderas en una driza de un mástil?
161
U IX.   
5. ¿De cuántas maneras distintas se puede contestar un examen de 5 pregun-
tas si solo hay que dar respuesta a 3 de ellas?
Combinaciones
1. ¿Cuántas comisiones de 3 personas se pueden formar seleccionándolas de
entre 10 personas? ¿Y de 7 personas entre 10?
2. ¿Cuántos grupos de 5 cartas se pueden obtener de una baraja de 52 cartas?
3. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 2 peras de una caja que contiene 8
peras?
4. ¿Cuantos comités compuestos de 3 abogados y 5 administradores pueden
formarse con base a un grupo de 5 abogados y 8 administradores?
5. ¿Cuántos comités diferentes pueden seleccionarse entre 9 hombres y 5 mu-
jeres si deben constituirse de 4 hombres y 3 mujeres?
6. De una bolsa que contiene 7 bolas negras y 5 blancas, ¿cuántos conjuntos
de bolas pueden formarse si se desea que 3 de ellas sean negras y 2 sean
blancas?
9.8 Introducción a probabilidades
La teoría de la probabilidad es de gran importancia para cualquier profesional
que requiera unos conceptos básicos para aplicarlos en su actividad laboral.
Con la estadística descriptiva podemos conocer algunas características de una
población a partir de una muestra, pero indudablemente no podrá aportar
información sobre otros aspectos en los cuales interviene la incertidumbre, la
cual puede expresarse en probabilidad; tal es el caso de encontrar la proba-
bilidad de que salga cara al lanzar una moneda o la decisión que debe tomar
un inversionista o un comerciante al lanzar un nuevo producto; en todos estos
casos, se debe hacer un esfuerzo para reducir el nivel de incertidumbre sobre
la probabilidad de poder tener éxito.
Frecuentemente, empleamos expresiones que tienen que ver con probabili-
dad, como cuando el médico indica la probabilidad de tener éxito en un pro-
cedimiento, el meteorólogo anuncia la probabilidad de lluvia o como cuando
usted se aventura a dar la probabilidad de un marcador en un partido de fut-
162
E ,     
bol. Los juegos de azar fueron las primeras aplicaciones de la probabilidad y
hoy en día son la base de diferentes aplicaciones matemáticas.
9.9 Denición de probabilidad
A continuación se expondrán las tres maneras de estimar una probabilidad: el
método clásico, el enfoque empírico y la denición axiomática.
9.9.1 El método clásico
Considera la probabilidad como la relación entre el número de casos favora-
bles (número de éxitos) y el total de casos posibles (resultados posibles). Se
emplea cuando los espacios muestrales son nitos y tienen resultados igual-
mente probables. Esta denición aparece con los estudios sobre los juegos de
azar realizados por Laplace7.
P = Número de éxitos
Número de casos posibles
La denición anterior se apoya en las condiciones siguientes:
a. El espacio muestral (S) de todos los resultados es nito.
b. Los resultados del espacio muestral deben ser igualmente probables.
Según las condiciones anteriores, si A es el suceso formado por n(A) resultados
(éxitos) de un espacio muestral y el número total de casos o resultados posi-
bles es n(S), la probabilidad está dada por:
P(A) = n(A)
n(S)
Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el número 5 al lanzar un dado?
Número de éxitos: uno (1), porque existe solo un número 5.
Resultados posibles: seis: (1, 2, 3, 4, 5, 6).
P(5) = 5
6 = 0,833, se observa que la probabilidad de obtener un 5 es 0,833.
7 Pierre Simón Laplace (1749-1827), astrónomo francés, materializó y proporcionó las bases de
la teoría analítica de la probabilidad.
163
U IX.   
Se debe tener en cuenta que las posibilidades y las probabilidades se encuen-
tran estrechamente relacionadas. Su diferencia estriba en que en las probabili-
dades se establece una relación entre el número de resultados favorables y el
total de resultados, mientras que en las posibilidades se compara el número de
resultados favorables con los no favorables.
Observe el siguiente ejemplo. Suponga que se tiene una caja con 12 bolas de
cristal: 10 amarillas y 2 rojas.
La posibilidad a favor de la rojas son 2 : 10 o también 1 : 5.
La probabilidad de obtener una bola roja en el primer intento es:
p(roja) = 2=2
10 + 2 12
La posibilidad a favor de la amarillas son 10 : 2 o también 5 : 1.
La probabilidad de obtener una bola amarilla en el primer intento es:
p(amarilla) = 10 =10
10 + 2 12
“Las posibilidades a favor de un evento equivalen a la razón entre el número de
resultados favorables y el número de resultados no favorables”.
9.9.2 Método empírico8
Existen situaciones en las que no se puede aplicar la denición clásica de pro-
babilidad, porque no existe una forma de obtener resultados igualmente pro-
bables, como en el caso en que se quiera conocer la probabilidad de que un
paciente se cure con un determinado procedimiento o la probabilidad de que
un determinado proceso industrial produzca artículos defectuosos; para dar
explicación a las anteriores inquietudes, supóngase que se efectúa un expe-
rimento de n ensayos y el evento A ocurre exactamente r veces, entonces la
frecuencia relativa del evento es r
n
()
, es decir, fr = r
n.
8 Quetelet. Reconocido como padre de la estadística moderna. Aplicó métodos estadísticos al
estudio de la Sociología.
164
E ,     
Al continuar calculando el valor de la frecuencia relativa en varios ensayos, se
observa que, cuando se va aumentando el valor (n), las frecuencias relativas
tienden a ser casi el mismo valor.
“Este concepto tiene algo que ver con el experimento de Quetelet8, en donde
la probabilidad de un suceso tiende a estabilizarse en un punto, cuando el nú-
mero de experimentos se va haciendo cada vez más grande”.
La denición empírica o frecuencia es la que se basa en la frecuencia rela-
tiva de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de ensayos
repetidos.
Una situación como la tratada anteriormente se puede observar en los resulta-
dos obtenidos al lanzar una moneda 1.000 veces. (Ejemplo tomado de internet).
Número de
lanzamientos
Número de
caras
Frecuencia
relativa (fri )
1-100 52 0,52
100-200 53 0,53
200-300 52 0,52
300-400 47 0,47
400-500 51 0,51
500-600 53 0,53
600-700 48 0,48
700-800 46 0,46
800-900 52 0,52
900-1.000 54 0,54
Total: 1.000 508 0,508
En un total de 1.000 lanzamientos ocurrieron 508 caras, es decir, la frecuencia
relativa es aproximadamente 0,50.
9.9.3 Denición axiomática
Este método, llamado también denición de Kolmogorov, explica la probabi-
lidad de un evento como un número que se encuentra entre 0 y 1, concepto
que se asemeja a la noción de frecuencia relativa, es decir, 0 ri
165
U IX.   
9.10 Escala de valores de las probabilidades
Para una mejor comprensión de este tópico, se desarrolla el siguiente ejemplo;
se realiza una rifa de 100 boletas. Calcular la probabilidad de ganar cuando:
a. No compre boletas.
P(0) = = 0, este resultado se denomina un hecho imposible.
b. Compra un número de boletas entre cero y 50.
P(35) = = 0,35, este resultado se denomina un hecho inverosímil.
c. Compra exactamente 50 boletas.
P(50) = = 0,50, este resultado se denomina un hecho dudoso.
d. Compra un número de boletas entre 50 y 100.
P(70) = = 0,70, este resultado se denomina un hecho verosímil.
e. Compra exactamente 100 boletas.
P(100) = = 1, este resultado se denomina un hecho cierto.
9.11 Experimento aleatorio (EA)
Se define como el proceso que conduce a unos resultados, ninguno de los
cuales puede pronosticarse de antemano, es decir, antes de realizar el ex-
perimento.
Ejemplos:
EA1: “Se lanza una moneda”
EA2: “Se lanzan dos monedas de manera sucesiva”
EA3: “Se lanza un dado”
EA4: “Se lanzan dos dados sucesivamente”
EA5: “Se lanza un dado y enseguida una moneda”
EA6: “Se lanza una regla triangular con las caras marcadas 1, 2 y 3, en dos oca-
siones sucesivas”
166
E ,     
EA7: “Usted le dice a un compañero que piense en un número entero positivo
de dos cifras”
EA8: “Seleccione al azar un bombillo de la producción y pida la vida útil”
EA9: “Se mide la tensión máxima que soporta un alambre extraído de la pro-
ducción”
9.12 Espacio muestral (S)
Corresponde al conjunto formado por todos los posibles resultados ocasio-
nados en una experiencia aleatoria determinada. Cada uno de los resultados
o elementos constitutivos del espacio muestral recibe el nombre de punto
muestral. Un espacio muestral se puede denir como el producto cartesiano
de los conjuntos que forman parte del experimento.
Ejemplo. En el lanzamiento de tres monedas los conjuntos son:
M: moneda 1 = {cara, sello} = {c, s}
N: moneda 2 = {cara, sello} = {c, s}
S: moneda 3 = {cara, sello} = {c, s}
El número de posibles resultados del experimento es: M x N x S = 2 x 2 x 2 = 8.
S = {ccc, ccs, css, sss, scs, scc, csc, scs}
Ejemplo. Hallar el espacio muestral a cada una de las experiencias aleatorias
en el numeral 2.
S1 = {cara, sello}
S2 = {cc, cs, sc, ss}
S3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
S4 = {(1,1), (1,2), (1,3), …………………………. (6,5),(6, )}
S5 = {(1,c), (1,s), (2,c), (2,s), (3,c), (3,s), (4,c), (4,s), (5,c), (5,s), (6,c), (6,s)}
S6 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
S7 = {10, 11, 12, 13, 14, 15, ……………………, 98, 99}
S8 = {d  0 ≤ t ≤ ∞}
S9 = {t:  0 ≤ t ≤ 20.000K-f}
167
U IX.   
9.13 Evento
Un evento es un subconjunto del espacio muestral. La cantidad de eventos de
un espacio muestral se puede determinar con (2n). Si el evento lo denotamos,
por ejemplo, con A, se cumplirá: A C S (A es subconjunto de S).
Por lo tanto, un evento A es un conjunto que está constituido por algunos de
los puntos muestrales o elementos del espacio muestral (S).
Puesto que el conjunto vacío ( ) es subconjunto de cualquier conjunto, será
subconjunto de S y, por lo tanto, es evento de toda experiencia aleatoria y
comúnmente se denomina evento imposible; y como todo conjunto es sub-
conjunto de sí mismo, el espacio muestral S es un evento que se conoce con el
nombre de evento cierto.
Un evento se puede expresar de manera literal y en forma conjuntista, así:
En forma conjuntista, cuando se indica el conjunto de puntos muestrales, y
literalmente o enfoque práctico, cuando se enuncia mediante una proposi-
ción o frase explicativa, que exprese con claridad la apreciación o aspecto de
su fórmula sobre el resultado particular de la experiencia aleatoria.
Ejemplo. Sea la experiencia aleatoria (EA), “Se lanzan tres monedas sucesiva-
mente”.
Sean los eventos siguientes:
A = “Se obtienen exactamente dos caras”
B = “Se obtienen los mismos resultados con las tres monedas
C = “Se obtienen más sellos que caras”
D = “Se obtiene un puntaje igual a cuatro
E = “Se obtiene uno cualquiera de los resultados”
Para cada uno de los eventos anteriores obtener:
a) Su expresión literal.
b) Su expresión conjuntista, indicando los puntos muestrales que lo constituyen.
c) La probabilidad de ocurrencia aplicando la concepción clásica de la proba-
bilidad.
168
E ,     
Solución:
S = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}; #(S) = 8
a) A = “ Se obtienen exactamente dos caras”
b) A = {ccs, csc, scc}; #(A) = 3
c) P(A) = # (A) / # (S) = 3 / 8
Ejercicio. Desarrollar el análisis de los eventos B, C, D y E.
9.14 Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es una herramienta empleada para determinar los posi-
bles resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo. Marianita debe ir desde su casa a visitar a su “Tita”, pero antes debe
pasar por la casa de una amiga. Para desplazarse de su casa a la de su amiga, le
sirven tres rutas de buses y para ir, nalmente, desde la casa de su amiga a la
de su “Tita”, le sirven solo dos buses.
B1 R1, B1
R1
B2 R1, B2
B1 R2, B1
R2
B2 R2, B2
B1 R3, B1
R3
B2 R3, B2
En resumen, se obtienen seis sucesos elementales:
S = {(R1, B1), (R1, B2), (R2, B1), (R2, B2), (R3, B1), (R3, B2)}; #(S) = 6
Ejemplo. Calcular los sucesos que resultan de lanzar dos veces una moneda.
169
U IX.   
cara cara, cara
cara
sello cara, sello
S = {cc, cs, sc, ss}; #(S) = 4
cara sello, cara
sello
sello sello, sello
9.15 Ejercicios de aplicación No. 9-2
1. Se lanza sucesivamente dos dados simétricos. Sean los eventos:
A = “La suma de los puntajes es nueve
B = “Los puntajes de los dados son iguales
C = “La diferencia entre el puntaje mayor y el menor es par”
D = “El puntaje mayor es múltiplo de tres”
Para cada uno de los eventos anteriores obtenga:
a) La forma analítica.
b) Su cardinal.
c) La probabilidad de ocurrencia, aplicando la concepción clásica de la pro-
babilidad.
2. Hay 50 bolas en una urna:
COLOR NÚMERO
Azul 20
Rojo 15
Naranja 10
Verde 5
Las bolas se mezclan y se selecciona una. Obtenga la probabilidad de que
la que se saque sea:
a) Verde b) Azul c) Azul o verde d) Amarilla
e) Diferente a roja f) Roja o verde g) Diferente a amarilla
170
E ,     
3. Se enumeran diez chas del 0 al 9 y se colocan en una urna. Si mezcladas
una vez saca una cha, determine la probabilidad de que sea:
a) El número 3
b) Un número
c) El número 10
d) Un número menor que 4
4. El neumático del auto de un individuo tiene un vidrio o clavo y el 20% del
neumático es visible. Si el automovilista se detiene, ¿cuál es la probabilidad
de que el vidrio o clavo quede en la parte visible?
5. Hay100 canicas en una urna. Cincuenta son rojas, treinta son blancas y el
resto azules.
a) ¿Qué porcentaje de las canicas son rojas?
b) Si se mezclan las canicas y se saca una de ellas; obtenga P roja.
c) Determine la probabilidad de que la canica seleccionada no sea roja.
d) Calcule la probabilidad de que la canica sea azul.
e) Halle la probabilidad de que la canica sea roja o azul.
6. Solo se probará un fusible de un grupo de 10. Determine el P (defectuoso) si:
a) Un fusible está dañado
b) Dos fusibles están dañados
c) Tres están dañados
7. Se debe cambiar una bujía en un motor de seis por estar defectuosa. Si dos
de ellas se encuentran colocadas de tal manera que resulta difícil cambiar-
las:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bujía defectuosa se encuentre en ese
sitio difícil?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bujía defectuosa no esté en dicho
sitio difícil?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el automovilista cargue todo el conjun-
to de bujías?
8. ¿Cuáles son las posibilidades favorables de tirar una moneda dos veces y
de que en ambas ocasiones caiga cara?
9. La probabilidad de que llueva es del 30%.
171
U IX.   
a) ¿Cuáles son las posibilidades de que llueva?
b) ¿Y de que no llueva?
10. Un director nanciero está considerando invertir en el capital de una em-
presa de asesorías empresariales. La valoración de probabilidades del di-
rector correspondientes a las tasas de rentabilidad de este capital durante
el próximo año se recogen en la tabla adjunta.
Sea A el suceso “La tasa de rentabilidad será mayor del 10%” y sea B el su-
ceso “La tasa de rentabilidad será negativa”.
Tasa de rentabilidad Probabilidad
Menos de -10% 0,04
Entre -10% y 0% 0,14
Entre 0% y 10% 0,28
Entre 10% y 20% 0,33
Más del 20% 0,21
a) Calcular la probabilidad del suceso A.
b) Calcular la probabilidad del suceso B.
c) Calcular la probabilidad del complemento del suceso A.
d) Calcular la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B.
e) Calcular la probabilidad de la unión del suceso A y B.
f) Los sucesos A y B, ¿se excluyen el uno al otro?
9.16 Tipos de probabilidad
Recordemos que se puede considerar que la probabilidad es la frecuencia rela-
tiva de aciertos o éxitos, es decir, es la relación entre el número de casos favo-
rables y el número de casos posibles.
Los diferentes tipos de probabilidad se estudiarán mediante la solución de un
ejemplo.
Ejemplo. El siguiente cuadro muestra la clasicación de 300 almacenes de una
cadena, según el tipo de ciudad y la zona geográca en donde están ubicados.
172
E ,     
ZONA GEOGRÁFICA
Tipo de
ciudad Este (E) Sur (S) Oeste (O) Norte (N) TOTAL
Grande (G) 50 12 40 18 120
Mediana (M) 15 21 50 35 121
Pequeña (P) 10 9 10 30 59
TOTA L 75 42 100 83 300
Supongamos que se escoge al azar un almacén de esa cadena. Entonces:
9.16.1 Probabilidad simple
Hace referencia a la probabilidad de un evento. Signica la probabilidad de
ocurrencia de un evento simple, un evento descrito por una sola característica.
Por ejemplo, la probabilidad de que un almacén esté ubicado en una ciudad
pequeña.
Ejemplo. Probabilidad de que un almacén pertenezca a la zona este:
P (E) = Almacenes de la zona este = = 0,25 Ξ 25%
Almacenes de la cadena
Ejemplo. Calcular la probabilidad de que la ciudad donde está el almacén no
sea mediana.
En este caso, se aplica la ley del complemento, es decir, el universo menos el
evento que no se desea.
P(M’) = 1 – P(M)
Recuerde: si M es un conjunto asociado a S y M’ es un subconjunto, se tiene:
M
U = S
M U M´= U
P(M)+P(M´) = 1
P(M´)= 1- P(M)
La solución del ejemplo será:
173
U IX.   
P (M’) = 1 – P(M)
P(M´) = 1 – 121 =300 121 =179 = 0,5966 = 59,66%
300 300 300 300
9.16.2 Probabilidad condicional
Se reere a la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que ha ocu-
rrido un evento B. Esta probabilidad se simboliza: P(A B) y se lee: probabilidad
de A dado B. Se calcula con:
Probabilidad de A dado B = Probabilidad conjunta de A y B
Probabilidad simple de B
)(
)(
)/( BP
BAP
BAP
=
Si se tiene un evento N (almacén del norte) de un espacio muestral S (por ejem-
plo, todos los almacenes), donde P(N) > 0, la probabilidad de que un evento
P (almacén pequeño) suceda una vez que N haya sucedido, es decir, la proba-
bilidad condicional de P dado N, que se simboliza
)/( NPP
, se dene como:
)(
)(
)/( NP
NPP
NPP
=
Ejemplo. Supongamos que un almacén escogido es de la zona norte. ¿Cuál es
la probabilidad de que sea pequeño?
El evento tamaño está condicionado a la zona geográca. Se expresa así:
)/( NPP
= P (de que el almacén sea pequeño dado que es del norte o
probabilidad de que ocurra P dado que ocurrió N)
)/( NPP
=
)(
)(
NP
NPP
=
30
300
83
300
= 30
83 = 0,3614 Ξ 36,14 %
La probabilidad de que un almacén esté en una ciudad pequeña sabiendo que
está situado en el norte es 0,3614.
174
E ,     
Ejemplo. Si el almacén escogido es de tamaño grande, ¿cuál es la probabilidad
de que sea de la región sur?
)/( GSP
= P(S /G) =
)(
)(
gP
GSP
=
12
300
120
300
= 12
300 = 0,04
9.16.3 Regla de la multiplicación
Cuando se trata de calcular probabilidades de eventos más complejos, se em-
plea la regla de la multiplicación, que se emplea para calcular la probabilidad
de (A y B), o en notación conjuntista (A B), y la regla de la adición, empleada
para calcular la probabilidad de (A o B), o en notación conjuntista (A B).
Con la regla de la multiplicación se determina la probabilidad de ocurrencia
del evento P(A B). Para calcular esta probabilidad, se multiplican sus corres-
pondientes probabilidades, pero debe tenerse en cuenta si los eventos A y B
son dependientes o independientes.
Si son independientes A y B, entonces:
• P(A) = P(A/B), o sea, que la probabilidad de A es la misma, se tenga en cuen-
ta o no el evento B.
• De igual manera, si A y B son independientes, entonces, P(B) = P(B/A).
• Probabilidad de eventos independientes: P(A ) = P(A) x P(B).
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver
con la ocurrencia de otro.
Un caso de eventos independientes es el muestreo con reposición, es decir, una
vez tomada la muestra, se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Recuerde que un evento A es independiente de B si y solo si la ocurrencia de
uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
175
U IX.   
Situación Eventos Por qué los eventos son inde-
pendientes
Ejemplo 1
Sacas una bola de una bolsa con
3 bolas rojas, 5 blancas y 2 ver-
de. Observas el color, la pones
de nuevo en la bolsa y sacas otra
bola. ¿Cuál es la probabilidad de
sacar una bola roja ambas veces?
Sacar una bola roja
en el primer inten-
to.
Sacar una bola roja
en el segundo in-
tento.
Los eventos son independientes
porque regresaste la primera
bola a la bolsa y tu segundo in-
tento fue con la bolsa en su esta-
do original.
Ejemplo 2
Sacas una carta de un mazo de
52 cartas y luego lanzas una mo-
neda. ¿Cuál es la probabilidad de
sacar un 2 y luego lanzar y que
caiga sello?
La carta es un 2.
La moneda cae
sello.
Aunque la carta no es regresa-
da al mazo después de sacarla,
el lanzamiento de la moneda
no depende de las cartas, por lo
que ningún posible resultado ha
sido reemplazado. A pesar del re-
sultado de sacar la carta, la pro-
babilidad de la moneda no será
afectada.
9.16.4 Evento independiente
Ejemplo tomado del cuadro anterior. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una
bola roja en un primer intento si se coloca la bola nuevamente dentro de la
bolsa y si se saca otra bola roja en un nuevo intento?
P(1R) = 3/10
P(2R) = 3/10
Observe que sacar una bola roja en el segundo intento sigue siendo 3/10 y
esto signica que los dos eventos son independientes. El resultado de un
experimento no afecta el resultado del otro.
P(1R y 2R) = (3/10)(3/10) = 9/100
En general, para cualquier número de eventos independientes, la probabilidad
de que todos los eventos sucedan es el producto de las probabilidades de que
sucedan los eventos individuales.
9.16.5 Evento dependiente
Dos eventos son dependientes si el resultado (probabilidad de ocurrencia) de
un primer evento (A) afecta el resultado del segundo evento (B).
176
E ,     
Si se presenta este caso, entonces se emplea el concepto de probabilidad con-
dicional para nombrar la probabilidad del evento tratado.
La expresión P(A/B) signica la probabilidad de ocurrencia del evento A dado
que el evento B ya ocurrió.
P (A|B) = P (A y B) oP (B|A) = P (A
B)
P (B) P (B)
En el ejemplo 1 del cuadro anterior, se saca una bola de la bolsa y no es reem-
plazada. En un segundo intento se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de
que la primera bola sea roja y la segunda también lo sea?
P(1R) = 3/10
P(2R) = 2/9 Si la primera no regresa a la bolsa, el espacio muestral cam-
bia y así los eventos son dependientes.
P(1R y 2R) = P(1R) · P(2R) = (3/10)(2/9) = 6/90 = 1/15
Ejemplo. Una caja contiene 5 tabletas blancas, 4 tabletas verdes y 3 tabletas
azules. Una tableta se saca de la caja y no es reemplazada. Otra tableta se saca
de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera tableta sea roja (A) y la
segunda tableta sea azul (B)?
A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabili-
dad de ocurrencia de B.
Ya que la primera tableta no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral
para la primera tableta es doce (12) pero para la segunda tableta es once (11);
en este caso los eventos son dependientes.
La probabilidad de que la primera tableta sea blanca es: P(b) = 5/12
La probabilidad de que la segunda tableta sea azul, dado que ya sacó una ta-
bleta blanca en la primera extracción, es: P α
b
( )
= 3
11
Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación
de probabilidades para eventos dependientes, se obtiene:
P(A y B) = P(A) * P(B/A)
P (Roja y Azul) = P (Roja) * P (Azul) = P (A y B) = 5*3 = 15 =5
12 11 132 44
177
U IX.   
9.16.6 Probabilidad conjunta
Aquí hace referencia a la probabilidad de ocurrencia de dos o más sucesos.
Si dos eventos A y B suceden al mismo tiempo, su probabilidad se expresa
como P(AyB). De la expresión
)(
)(
)/( BP
BAP
BAP
=
, se despeja
)( BAP
= P(B) . P(A/B) y dicha expresión es llamada ley de multiplicación de proba-
bilidades.
La expresión
)( BAP
se denomina probabilidad conjunta y corresponde a
la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.
)( BAP
=
Número de eventos con características comunes a A y B =nA
Total de resultados posibles Total de resultados
Ejemplo. En el ejemplo anterior que ilustra la información de los 300 almace-
nes, calcular la probabilidad de escoger un almacén mediano y que sea del sur.
P(M y S) = P(M
S) = = 0,07
9.16.7 Regla de la adición o suma de probabilidades
La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra
alguno de dos eventos o ambos.
Su cálculo diere si los eventos son mutuamente excluyentes o no.
Se dice que los eventos S (que el almacén sea del sur) y N (que el almacén sea
del norte) denidos en un espacio muestral (por ejemplo, todos los almace-
nes) son excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina (excluye) la
de cualquier otro evento.
178
E ,     
S N
P(S o N) = P(SUN) = P(S) + P(N)
Ejemplo. Se selecciona un almacén al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
de la región sur o norte? O sea: P (Sur o Norte) = Probabilidad de sur más la
probabilidad de norte.
P(S o N) = P(S) + P(N) = 42 + 83 =125 = 0,4166 = 41,66%
300 300 300
Si dos eventos NO SON EXCLUYENTES, es decir, son compatibles, es posible
que ambos puedan ocurrir simultáneamente, tales como el evento M (ciudad
grande) y O (ser de la región oeste); la fórmula debe modicarse, así:
P(M o O) = P(M P(M) + P(O) – P(M
O)
MM
O O
En eventos no excluyentes, en M
O, algunos elementos per-
tenecen tanto a M como a O, luego existe una superposición
entre estos conjuntos.
Cuando las áreas incluidas en M y O, se suman en eventos no ex-
cluyentes, el área de la intersección se habrá sumado dos veces,
entonces para corregir esta duplicidad, en la regla de la adición
se resta M
O.
P(M o O) = P(M) + P(O) - P(M
O)
Ejemplo. Si se escoge un almacén al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea
mediano o del oeste?
P(M o O ) = P(M) + P(O) – P(M
O)
P(M o O) = 121 +100 -50 =171 = 0,57
300 300 300 300
179
U IX.   
En general, para cualquier número de eventos independientes, la probabilidad
de que todos los eventos sucedan es el producto de las probabilidades de que
sucedan los eventos individuales.
RESUMEN DE
ADICIÓN Y
PRODUCTO DE
PROBABILIDAD
ES
REGLA DE
LA ADICIÓN
Eventos mutuamente excluyentes
P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B)
Eventos no mutuamente excluyentes
P(A o B) = P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)
REGLA DEL
PRODUCTO
Eventos independientes
P(A y B) = P(A) * P(B)
Eventos dependientes
P(A y B) = P(A n B) = P(A n B) = P(A) * P(B/A)
9.16.8 Probabilidadtotal
Como se ha visto ya, dos eventos cualesquiera A y B, que sean mutuamente
excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro es la suma de sus pro-
babilidades, es decir, P(A) = P(A) + P(B). Esta regla se puede generalizar de tal
manera que aplique a más de dos eventos, mutuamente excluyentes, de dos
en dos.
Si tenemos los sucesos A1 , A2 + A3 + …………….. An y que sea B otro suceso, se
tiene:
P(B) = P(A1).P(B/ A1) + P(A2 ).P(B/A2 ) + P(A3 ).P(B/A3 ) + ……. + P(An ).P(B/An )
Ejemplo. Una empresa ha instalado alarmas en tres secciones, A, B y C. En la
sección (A) se instalaron 8 alarmas, de las cuales 3 no funcionan; en la (B) se
instalaron 5 alarmas y se sabe que 2 no funcionan; en la (C) se instalaron 7 y
no funcionan 4. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar al azar una alarma de
cualquiera de las 3 secciones esta no funcione?
Es de gran ayuda, si se puede, hacer un diagrama de árbol para hallar la pro-
babilidad total.
180
E ,     
F
A
NF
F
B
NF
F
C
NF
1
3
1
3
1
3
5
8
3
8
3
5
2
5
3
7
4
7
F: Funciona NF: No funciona
Para hallar la probabilidad total debe-
mos coger todas las “ramas” que nos
llevan a NF y sumarlas.
A…….. p(A
NF) = p(A).p(NF/A)
B…… p(B
NF) = p(A).p(NF/B)
C…... p(
CNF) = p(C).p(NF/C)
Probabilidad total del suceso NF = p(A
NF) + p(B
NF) + p(
CNF) =
Probabilidad total del suceso NF = p(A). p(NF/A) + p(A). p(NF/B) + p(C). p(NF/C)
P(NF) = ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( )
9.17 Teorema de Bayes
Es la relación entre una de las ramas que cumple un suceso y la probabilidad
total de ese suceso.
)(
)(
)/( BP
BAP
BAP
=
Conociendo que el evento B se ha producido, se quiere calcular la probabili-
dad de que haya sido por la rama A.
P(A
B); probabilidad de la rama A.
P(B); probabilidad total del suceso B.
El teorema de Bayes permite encontrar la probabilidad condicional del evento
A dada la ocurrencia del evento B.
181
U IX.   
La importancia del teorema de Bayes es que se aplica en casos de eventos
secuenciales. Cuando no se tiene intersección, se debe aplicar el teorema de
Bayes.
)(
)(*)/(
)(
)(
)(
)(
)/( BP
APABP
BP
ABP
BP
BAP
BAP ===
Ejemplo. En una empresa, tres secretarias se encargan de toda la correspon-
dencia. La secretaria A se encarga del 50%; la B del 30% y la C del resto de la
correspondencia.
Se sabe por experiencia que la secretaria A comete errores el 2% de las veces,
que la B comete errores el 5% de las veces y la C comete errores el 7%. Si se-
lecciona una correspondencia de la empresa en un día particular y en ella se
detectan errores, ¿cuál es la probabilidad de que sean de la secretaria B?
e
A
Ne
e
B
Ne
e
C
Ne
0,50
0,30
0,20
0,02
0,98
0,05
0,95
0,07
0,93
.............................. p(e/A)
.............................. p(Ne/A)
C: 20%
.............................. p(e/B)
.............................. p(Ne/B)
.............................. P(e/C)
.............................. P(Ne/C)
Secretarias: A, B y C
A: 50%
B: 30%
e: errores
Ne: No errores
P(B/e) = P(B
e) =P(e
B) =P(e/B)*P(B)
P(e) P(e) P(e)
P(B/e) = (0,05)(0,30) =0,015 =0,015 = 0,384Ξ 38,4%
(0,5)(0,02)+(0,3)(0,05)+(0,2)(0,07) 0,01+0,015+0,014 0,039
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar correspondencia que no tenga errores
y sea de la secretaria A? Es decir: P(A/Ne) = ???
Ejemplo. El administrador de una panadería desea introducir un nuevo pastel
al mercado. La experiencia le indica que el 40% de los pasteles introducidos
182
E ,     
por su panadería han sido bien aceptados mientras que el 60% no. Antes de
sacar el nuevo pastel al mercado, se lleva a cabo un estudio de mercado y se
hace un informe de aceptación y no aceptación. Anteriormente, el 80% de los
pasteles con éxito recibieron informe de aceptación y el 30% de los pasteles
sin éxito también recibieron informes de aceptación. El director de mercadeo
querría conocer la probabilidad de que el nuevo pastel tendrá éxito si recibe
un informe de aceptación.
Solución:
Evento E = pastel con éxito
Evento Se = pastel sin éxito
Evento A = informe de aceptación
Evento Sa = informe sin aceptación
A
E
Sa
A
Se
Sa
0,40
0,60
0,8
0,20
0,3
0,70
.............................. p(A/E)
.............................. p(Sa/E)
.............................. p(A/Se)
.............................. p(Sa/Se)
P(E | A) = P(A | E) * P(E)
P(A)
P (E | A) = (0,80) (0,40) = 0,32____ = 0,64
(0,80)(0,40) + (0,30)(0,60) 0,32 + 0,18
La probabilidad de que un nuevo pastel tenga éxito, dado que recibió un infor-
me de aceptación, es del 0,64, o sea, el 64%.
9.18 Ejercicios de aplicación No. 9-3
1. Una compañía de investigación de mercados está interesada en examinar
algunas actitudes en una ciudad. Hay 1.250 hogares clasicados de acuerdo
con sus ingresos y con el hecho de ser propietarios de teléfono y televisión.
Los datos son:
183
U IX.   
Hogares con ingresos mayores a
$500.000
Hogares con
ingresos inferiores a $500.000
Con TV Con teléfono Sin teléfono Con teléfono Sin teléfono
Sin TV 120 80 270 200
Suma 180 120 180 100
a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un hogar con TV?
b) Si un hogar con ingresos de más de $500.000 tiene teléfono, ¿cuál es la
probabilidad de que tenga TV?
c) ¿Qué porcentaje de familias tienen teléfono?
d) ¿Qué porcentaje de familias gana más de $500.000?
e) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una familia que tenga TV dado el he-
cho que tiene teléfono?
2. Dados los siguientes eventos:
P: La persona compra producto P.
N: La persona no compra el producto P.
H: La persona es hombre.
M: La persona es mujer.
La población de estudio es: P(N) = 0,7 ; P(H) = 0,40 ; P(N | M)
= 0,45 ; P(N | H) = 0,75.
a) Encontrar la probabilidad que no compre P y sea M (mujer).
b) Encuentre la probabilidad de P(N o H).
3. Un lote formado por 10.000 partes, producidas en cuatro máquinas, fue ca-
licado de acuerdo a tres formatos. Los resultados fueron:
MÁQUINAS TOTAL
GRADO W X Y Z
B: Bueno 2.400 1.600 1.900 2.000
R: Regular 450 300 400 350
D: Desperdicio 150 100 200 150
TOTA L
Calcular las siguientes probabilidades, si una parte es seleccionada.
a) Haya sido producida en la máquina X.
b) Es de grado bueno dado que se haya producido en la máquina Z.
c) Sea de grado regular.
d) Sea desperdicio y producida en la máquina Y.
184
E ,     
4. Con los datos de la tabla del problema 3, calcular las siguientes probabilida-
des y explicar con palabras su signicado.
a) P(D y Z)
b) P(D)
c) P(R o X)
d) P(R | X)
e) P( W o Y)
f) P(B | W)
5. Blanquise tiene un conjunto de 15 chas numeradas del 1 al 15. Saca una
cha al azar, ve el número y la revuelve de nuevo en el conjunto. ¿Cuál es la
probabilidad de que no le salga una cha menor o igual a 5 en el primer in-
tento, pero que sí le salga una cha mayor o igual a 5 en el segundo intento?
6. En un colegio, el 30% de los estudiantes tienen problemas de motricidad,
el 10% tiene problemas de sensibilidad y el 5% tienen tanto problemas de
motricidad como de sensibilidad. Sean “M”: los que tienen problemas de
motricidad y “Mc” los que no lo tienen, “S” los que tienen problemas de sen-
sibilidad y “SC” los que no los tienen.
a) ¿Son los dos eventos de tener problemas de motricidad y sensibilidad
eventos independientes?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un niño tenga problemas de sensibilidad
si sabemos que tiene problemas de motricidad?
c) Complete la siguiente tabla.
No motricidad: M Sí motricidad: McTotal
No sensibilidad: S 0,05 0,1
Sí sensibilidad: Sc
Total 0,3 1,00
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un niño que no tenga problemas motri-
ces sí tenga problemas de sensibilidad?
7. Una caja contiene 5 rosas rojas, 3 rosas amarillas y 4 rosas blancas. Una rosa
es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra rosa se saca de la caja.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera rosa sea blanca y la segunda rosa
sea amarilla?
Como la primera rosa es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9)
185
U IX.   
no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son indepen-
dientes.
8. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer
lanzamiento resulte 5 y en el segundo un número par?
9. En una empresa trabajan mujeres y hombres, además se sabe que un 10%
de los empleados se han especializado en el extranjero. Si el 25% de los em-
pleados son hombres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger un emplea-
do de la empresa este sea hombre y se haya especializado en el exterior?
10. Un alumno responde al azar 4 preguntas de verdadero y falso en un exa-
men. ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente todas las
preguntas?
11. Se lanza una moneda normal tres veces. ¿Cuál es probabilidad de obtener
3 caras?
12. Un estudiante responde al azar cuatro preguntas de 5 opciones cada una.
¿Cuál es la probabilidad de sacar todas buenas?
13. Consideremos una caja en que hay 10 manzanas en las cuales 3 son de-
fectuosas y 7 no. ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar una manzana
defectuosa en una primera extracción y una defectuosa en una segunda
extracción?
Es decir: P(1df y otra df) = P(1df ) * P(otra df)
P(1df) = 3/10 P(otra df ) = 2/9
14. De una baraja normal de 52 cartas, sea A el suceso de sacar un as en la pri-
mera extracción y B sacar un as en la segunda extracción. Calcular la proba-
bilidad de sacar dos ases en dos extracciones sin devolver la carta extraída.
15. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% con-
sume pan multicereales y el 20% consume ambos. Se pide:
a) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabi-
lidad de que coma pan de multicereales?
b) Sabiendo que un habitante come pan de multicereales, ¿cuál es la pro-
babilidad de que no consuma pan integral?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma
ninguno de los tipos de pan?
186
E ,     
16. El equipo directivo de cierta empresa del sector turístico está constituido
por 25 personas de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que selec-
cionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en
un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selec-
ciona a una mujer y si sale cruz, a un hombre.
Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan in-
glés, justicando la respuesta, ¿cuál la probabilidad de que la persona se-
leccionada hable inglés?
17. En cierta fábrica, el 5% de los hombres y el 2% de las mujeres tienen más de
78 kg de peso. Además, el 60% de los operarios son mujeres. Si se seleccio-
na al azar un operario y pesa más de 78 kg, ¿cuál es la probabilidad de que
el operario sea mujer? (T. Bayes).
18. Una compañía envía sus vehículos para chequeo a tres talleres: el 35% de
los vehículos van al taller 1; el 25% al taller 2 y el resto al taller 3. La proba-
bilidad de que un vehículo venga defectuoso del taller uno es del 0,08; del
taller dos es del 0,10 y del taller tres es del 0,12. ¿Cuál es la probabilidad de
que un vehículo esté defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que el vehí-
culo defectuoso fue chequeado por el taller dos?
19. El 30% de los empleados de una empresa son administradores y otro 30%
son nancieros. El 80% de los administradores ocupan un puesto de direc-
ción y el 55% de los nancieros también, mientras que de los no adminis-
tradores y los no nancieros solamente el 25% ocupa un puesto de direc-
ción. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado de dirección elegido al
azar sea administrador?
0,3 Administradores 0,8 Puesto de dirección
0,3 Financieros 0,55 Puesto de dirección
0,4 Otros 0,25 Puesto de dirección
0,3
0,3
0,4

Para continuar leyendo

Solicita tu prueba

VLEX utiliza cookies de inicio de sesión para aportarte una mejor experiencia de navegación. Si haces click en 'Aceptar' o continúas navegando por esta web consideramos que aceptas nuestra política de cookies. ACEPTAR