Teoría de contar - Introducción a probabilidades
| Autor | Jesús Elías Aguilar Ibagué |
| Páginas | 155-186 |
155
UNIDAD IX
“Mientras menos se atreva, mayor será el riesgo de fracasar,
y mientras mayor es el riesgo a fracasar,
mayores son las probabilidades de tener éxito”.
John C. Maxwell.
Escritor y orador sobre liderazgo
Contenido
• Concepto, denición y uso de las probabilidades.
• Experiencia aleatoria, espacio muestral, diagrama de árbol, número facto-
rial, permutaciones, combinaciones.
• Tipos de probabilidad.
• Teorema de Bayes.
• Ejercicios de aplicación.
Competencias
El estudiante:
• Aplica la denición clásica para hallar probabilidades.
• Calcula la probabilidad de un evento, conocida la experiencia aleatoria.
• Clasica las propiedades según la escala de valores.
• Entiende y maneja los conceptos de permutaciones y combinaciones.
• Aplica el teorema de Bayes.
156
E ,
9. Teoría de contar - Introducción a probabilidades
Las técnicas de contar estudian o determinan el número de resultados posi-
bles de una muestra o experimento. Las técnicas de conteo se usan para enu-
merar eventos difíciles de cuanticar físicamente.
9.1 Notación factorial
Dado un número (n) entero positivo mayor o igual que dos (2), llamaremos
factorial del número n al producto de los (n) primeros números enteros positi-
vos y se simboliza como (n!), es decir:
Si n ≥ 2, entonces n! = 1 . 2 . 3 . …………(n-2)(n-1)n
El factorial de un número se obtiene multiplicando el número por todos los
números naturales menores que él hasta llegar a 1.
Ejemplo. 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 o también: 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720
Ejemplo. 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040
Se acepta que: 1! = 1 y además que: 0! = 1.
9.2 Permutaciones
Es todo arreglo u ordenación de (n) elementos en un orden dado, que se pue-
den realizar con todos los elementos y cuya característica es el orden en que
se disponen.
El número de permutaciones de (n) objetos, tomados todos a la vez, se cal-
cula con:
n Pn = n!; corresponde al número de permutaciones posibles.
Ejemplo. Se tienen 5 pantalones de diferentes colores, para ser repartidos en-
tre cinco niños. ¿Cuál es número de arreglos diferentes que existen?
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 posibles arreglos
157
U IX.
Ejemplo. Considere los números 1, 2 y 3; con ellos realizar las permutaciones
posibles.
Pn = n! = P3 = 3! = 3 * 2 * 1 = 6
9.3 Permutaciones con repetición
Las permutaciones con repetición (r) son un caso particular de las variaciones.
A continuación se presenta la fórmula que permite lograr el número de esta
clase de permutaciones.
Pn(r: r1 , r2 ) = n!
r1!r2!
Ejemplo. Si se tienen 9 elementos repartidos así: tres del primero (MMM), dos
del segundo (NN), tres del tercero (SSS) y uno del cuarto (T), ¿cuántas permu-
taciones son posibles?
P9(r: 3, 2, 3, 1) = 9! =9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 5.040
3!2!3!1! 3*2*1*2*1*2*2*1*1
9.4 Variaciones
Las variaciones hacen referencia a aquellas permutaciones donde los elemen-
tos no se toman en su totalidad, es decir, son permutaciones de (n) elementos
distintos, donde (r < n) elementos pertenecen al conjunto dado; se calcula con
la siguiente fórmula:
Vn
r = nPr =n!
(n-r)!
Ejemplo. ¿Cuántas cifras diferentes de 3 dígitos se pueden formar con los dígi-
tos del 0 al 9, usándolos una vez?
10V3 = V10
3 = 10*9*8*7! =10*9*8+7! = 720
(10 - 3)! 7!
Ejemplo. Hay cinco (5) pantalones de diferentes colores, para ser repartidos
entre tres (3) niños. ¿Cuál es el número de arreglos diferentes que se pueden
hacer?
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