Validación alternativa del modelo continuo aleatorio de modelación de un índice de pérdidas por catástrofes con tasa de declaración de siniestros constante desencadenante de los Cat Bonds. Estudio para el caso de inundaciones en España
| Autor | María José Pérez Fructuoso |
| Cargo | Doctora Europea en Economía, Doctora en Ciencias Económicas y Empresariales, Licenciada en Ciencias Actuariales y Financieras |
1. Introducción
Una de las principales formas de titulización del riesgo catastrófico son los Cat Bonds o bonos sobre catástrofes. El desencadenante de estos instrumentos puede definirse como una ratio de siniestralidad en la que se relacionan la cuantía total de las pérdidas debidas a catástrofes ocurridas durante un determinado periodo de tiempo con un valor constante, habitualmente definido como el volumen estimado de las primas destinadas a cubrir las pérdidas catastróficas consideradas. La naturaleza de esta ratio es aleatoria porque la cuantía total de las pérdidas en las que se incurre es un valor desconocido a lo largo de toda la vida del contrato: a priori ignoramos el número de catástrofes que van a producirse, su magnitud y los momentos de su ocurrencia; tampoco se conoce el ritmo de declaración de los siniestros asociados.
Partiendo del análisis empírico de la evolución de las declaraciones de siniestros después de suceder una catástrofe, Pérez-Fructuoso (2008, 2009) propone un modelo matemático para calcular la componente aleatoria de la ratio de siniestralidad subyacente de esta clase de activos derivados. La característica distintiva del modelo es la consideración de una nueva variable, denominada cuantía de siniestros pendiente de declarar, frente a los enfoques precedente tales como Cummins et al. (1995), Geman, et al. (1998) o Nowak et al. (2013), entre otros, que solo consideran en su sistematización la cuantía de siniestros ya declarada. De esta forma, cuando se produce una catástrofe, su volumen total es la suma de estas dos cuantías, la cuantía declarada de siniestros y la cuantía de siniestros pendiente de declarar. Sin embargo, en la modelización propuesta por Pérez-Fructuoso (2008, 2009) se representa la siniestralidad instantánea mediante una ecuación diferencial cierta que describe un crecimiento de la siniestralidad declarada proporcional a la cuantía de siniestros pendiente de declarar en cada momento. La evolución de esta última cuantía también viene dada por una ecuación diferencial ordinaria que simboliza una tendencia decreciente de los importes de siniestros pendientes de declarar proporcional a una tasa, de declaración de siniestros constante, denominada tasa instantánea de declaración de siniestros. Para ajustar a la realidad el modelo de evolución de las declaraciones de siniestros se incorpora la aleatoriedad perturbando esta tasa instantánea de declaración de siniestros con un ruido blanco, o diferencial del proceso de Wiener de forma que la ecuación diferencial asociada a la cuantía de siniestros pendiente de declarar se vuelve estocástica, la tasa de declaración de siniestros se convierte en un proceso estocástico con trayectorias continuas, y la cuantía de siniestros pendiente de declarar se representa a través de una tendencia constante perturbada en cada momento por la variancia que incorpora el proceso de Wiener. La cuantía declarada de siniestros resulta de la diferencia entre el volumen total de la catástrofe y la cuantía de siniestros pendiente de declarar.
En cuanto a la validación de estos modelos, la tasa de declaración de siniestros y la volatilidad del proceso de Wiener se estiman aplicando el método de Máxima Verosimilitud. Posteriormente y sobre la base de dichas estimaciones se verifica la bondad del ajuste calculando los intervalos de predicción del 90 por ciento y el 99 por ciento para el IBNR por medio de una distribución normal de dos colas, asumiendo el total de la catástrofe incurrida pérdida es igual a 100.
En este trabajo se realiza una validación alternativa del modelo continuo desarrollado. Se propone la estimación de la tasa de declaración de siniestros constante aplicando una metodología de Mínimos Cuadrados con Restricciones lo que da lugar a valores diferentes de la tasa de declaración de siniestros. También, se determina la volatilidad que incorpora el proceso de Wiener dentro del modelo continuo aleatorio, y ello respecto a cada una de las estimaciones realizadas sobre la tasa de declaración de siniestros. Por último, se verifica la bondad de los ajustes realizados a través del estudio de la Raíz del Error Cuadrático Medio, el contraste de la Ji-Cuadrado de Pearson y el cálculo de los correspondientes intervalos de confianza.
La estructura del artículo es la siguiente. La sección 2 realiza un resumen de las principales características del modelo continuo de declaración de siniestros sobre el que se va a realizar la estimación de los parámetros. En la sección 3 propone una metodología de estimación de los parámetros del modelo por Mínimos Cuadrados con Restricciones y se comparan los resultados obtenidos con los resultantes de aplicar el método tradicional de estimación por Máxima Verosimilitud. Finalmente, la sección 4 resume los principales resultados obtenidos y concluye.
2. Principales características del modelo de declaración de siniestros con tasa de declaración de siniestros constante
El modelo propuesto por Pérez-Fructuoso (2008, 2009) calcula el índice de pérdidas desencadenante de los bonos sobre catástrofes definido como el cociente entre el total de pérdidas asociadas a una catástrofe ocurrida a lo largo de un determinado periodo de riesgo, S(t), y una constante, p, cuyo valor depende del tipo de índice utilizado. El valor de este índice al vencimiento, T, viene dado por la siguiente expresión:
L(T)= S(T) / p
De forma resumida, dicho modelo supone que la cuantía de la catástrofe ocurrida en el momento t= 0 . K, es una variable aleatoria que puede definirse como la suma de dos variables, ambas referidas al momento de valoración t,
K= S(t) + R(t) (1)
donde S(t) denota la cuantía declarada de siniestros (Reported Claims, RC) y R(t) la cuantía de siniestros pendiente de declarar (Incurred But Not Reported Claims, IBNRC).
A partir de la evidencia empírica se considera que, inmediatamente después de que se produce la catástrofe, la intensidad de la declaración de siniestros es elevada y decrece con el paso del tiempo hasta anularse cuando no quedan más siniestros por declarar. Este hecho se representa mediante la ecuación diferencial,
dS(t) = αR(t)dt (2)
en la que α es una constante denominada tasa instantánea de declaración de siniestros.
Diferenciando la ecuación (1) se obtiene:
dS(t) = -dR(t) (3)
Y substituyendo este resultado en la ecuación (2) se deriva la nueva ecuación diferencial que describe la evolución de la variable R(t):
dR(t) = -αR(t)dt (4)
Para capturar el comportamiento irregular del proceso de declaración de siniestros, se introduce un proceso de Wiener en la ecuación (4). La irregularidad en el proceso de declaración de siniestros depende de la cuantía de siniestros pendiente de declarar. Mientras dicha cuantía es elevada, la irregularidad en las declaraciones también lo es y decrece a medida que los hace la IBNRC. Para reflejar este comportamiento, se introduce en el modelo determinista un proceso de Wiener con intensidad δR(t), lo cual se conoce con el nombre de movimiento Browniano geométrico. El resultado es la siguiente ecuación diferencial estocástica,
dR(t) = -αR(t)dt + δR(t)dWt (5)
con las siguientes condiciones de contorno:
• Si t=0, entonces R(0) = K, en el momento en que ocurre la catástrofe, toda su cuantía está pendiente de declarar, y por tanto no hay nada declarado todavía.
• Si t→ ∞, entonces R(t) = 0, transcurrido un tiempo lo suficientemente grande todos los daños han sido declarados y por tanto ya no quedan siniestros pendientes de declarar.
La ecuación central de este modelo es la ecuación (5). Dicha ecuación intenta reproducir el proceso de declaración de siniestros de una catástrofe donde α representa la tendencia del proceso, δ es el valor constante que representa la volatilidad del proceso y Wt es un proceso de Wiener estándar asociado a la catástrofe.
Una condición necesaria del modelo radica en el hecho de que δ debe ser un valor bajo. De lo contrario, si δ es li suficientemente grande podría producirse la circunstancia de que la tasa de declaración de siniestros fuera positiva dando lugar a un crecimiento de la cantidad de siniestros pendiente de declarar.
La solución de la ecuación (5) necesita aplicar el lema de Itô para su cálculo (Arnold, 1974), resultando,
y teniendo en cuenta la condición de contorno inicial R(0) = K, la solución de la ecuación diferencial estocástica resulta:
(6)
La variable R(t) sigue una distribución log-normal, por tanto, la variable ln(t) seguirá una distribución normal de parámetros (Johnson, et al., 1994):
(7)
3. Validación del modelo propuesto [arriba]
En la aplicación práctica del modelo teórico desarrollado por Pérez-Fructuoso (2008, 2009) para determinar un índice de pérdidas por catástrofes, los principales parámetros a estimar son la tasa de declaración de siniestros y la volatilidad incorporada por el proceso de Wiener. Para ello, se dispone de seis series temporales de datos (Tablas 1, 2, 3, 4, 5 y 6 a continuación) sobre el porcentaje declarado de siniestros y el porcentaje de la cuantía de los siniestros pendiente de declarar (PDR en tablas), ambos acumulados semanalmente, en 6 inundaciones ocurridas en distintas regiones de España entre 1991 y 2000, Alcira (01/10/1991), San Sebastián (23/06/1992), Barcelona (14/09/1999), Zaragoza (20/10/2000), Valencia (20/10/2000) y Murcia (20/10/2000)[1].
| Tabla 1: Serie de datos Alcira 01/10/1991 | ||
| Periodo | % Declarado Real | % Pendiente Declarar Real |
| Semana | (PDR) | |
| 0 | 0 | 100 |
| 1 | 15.06 | 84.94 |
| 2 | 46.35 | 53.65 |
| 3 | 65.04 | 34.96 |
| 4 | 75.95 | 24.05 |
| 5 | 81.14 | 18.86 |
| 6 | 86.64 | 13.36 |
| 7 | 89.47 | 10.53 |
| 8 | 91.96 | 8.04 |
| 9 | 93.06 | 6.94 |
| 10 | 94.77 | 5.23 |
| 11 | 95.92 | 4.08 |
| 12 | 96.29 | 3.71 |
| 13 | 96.44 | 3.56 |
| 14 | 97.4 | 2.6 |
| 15 | 98.25 | 1.75 |
| 16 | 98.7 | 1.3 |
| 17 | 99.23 | 0.77 |
| 18 | 99.71 | 0.29 |
| 19 | 100 | 0.0 |
| Tabla 2: Serie de datos San Sebastián 23/06/1992 | ||
| Periodo | % Declarado Real | % |
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