Series uniformes o anualidades
| Autor | Abel María Cano Morales |
| Páginas | 123-154 |
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Capítulo tercero
“No great discovery was ever made without a bold guess”.
Sir Isaac Newton
3. Series uniformes o anualidades
3.1. Introducción
En el capítulo anterior estudiamos los casos en los cuales un ujo de caja
constaba de un pago único o de varios pagos diferentes en tiempos también
diferentes. Para esta clase de problemas calculamos tanto el valor presente
como el valor futuro y, para algunos pocos, el tiempo y la tasa de interés. Sin
embargo, en la práctica, también se presentan ujos de caja que están forma-
dos por pagos que tienen la característica de ser todos iguales y tener lugar en
intervalos iguales de tiempo. Tales ujos de caja o conjuntos de pagos reciben
los nombres de “series uniformes”, “anualidades” o “rentas uniformes”. Son los
casos, por ejemplo, de las cuotas de un seguro, cuotas de arrendamientos, el
sueldo de un empleado, entre otros, bajo las condiciones de que no cambie el
valor del pago durante algunos periodos.
En este capítulo, estudiaremos las clases uniformes o anualidades más comu-
nes y, por lo tanto, de mayor aplicación en los problemas prácticos de las Ma-
temáticas Financieras. Al igual que en el capítulo anterior, en este calcularemos
valor presente, valor futuro, valor de los pagos y el tiempo para la mayoría de
anualidades; sin embargo, el problema general de cálculo de la tasa de interés
se dejará para ser tratado en el capítulo 5.
3.1. Aplicaciones de las series
uniformes o anualidades
3.1.1. Denición
Se llama serie uniforme o anualidad a un conjunto de pagos iguales y periódicos.
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M - A M C M
Aquí el término de “pago” hace referencia tanto al ingreso como al egreso. De
la misma manera, el término “anualidad” se utiliza para indicar que los pagos
son periódicos y no necesariamente cada año. Los periodos pueden ser el día,
la semana, la quincena, el mes, el trimestre, el semestre o el año, entre otros.
Sin embargo, esta clase de ujos de caja también permite manejar series de
pagos en cualquier otro periodo distinto de los tradicionales como los enu-
merados anteriormente y es el caso, por ejemplo, cuando un deudor propone
pagar una deuda en cuotas iguales cada 35 días, entonces decimos que la for-
ma de pago es mediante una anualidad cada 35 días, y similar tratándose de
cualquier otro intervalo de tiempo.
Utilizaremos la siguiente notación para el tratamiento de las anualidades.
P = valor presente
F = valor futuro
A = valor de cada pago periódico
n = número de pagos periódicos
i = tasa de interés por periodo
Para una anualidad puede suceder que el periodo de capitalización de la tasa
de interés coincida o no con el periodo de pago. En caso negativo, se establece
una conversión de equivalencia, ya sea del periodo de capitalización al perio-
do de pago o viceversa; de todas maneras, utilizando las equivalencias entre
tasas (estudiadas en el capítulo 2), es posible obtener una tasa cuyo periodo de
capitalización coincida con el periodo de pago.
Las principales clases de anualidades son las siguientes:
a. anualidad vencida
b. anualidad anticipada
c. anualidad diferida
d. anualidad perpetua
También se pueden presentar los casos de combinación de algunas de las an-
teriores como, por ejemplo, una anualidad diferida perpetua, etc. Para el estu-
dio de las clases enumeradas anteriormente, tomaremos como base el estudio
que hagamos de la anualidad vencida, y es así como las expresiones o fórmulas
que obtengamos para esta primera clase de anualidad las adaptaremos a los
demás casos, en cuanto sea posible.
3.2. Anualidad vencida
3.2.1. Denición
Se llama anualidad vencida aquella donde el pago se hace al nal del periodo.
C. 3 - S
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Así, por ejemplo, el salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales
iguales y vencidas en la adquisición de vehículos o de electrodomésticos por
el sistema de nanciación son casos de anualidades vencidas.
Vamos a obtener ahora las expresiones que nos determinen el valor presente y
futuro de una anualidad; empezaremos por hallar el valor futuro.
Valor futuro. Sea una anualidad vencida de n pagos de valor $A cada uno, con
una tasa de interés del i% por periodo, se trata de hallar una expresión que nos
mida el valor futuro de esta serie uniforme. El diagrama de ujo de caja para
este caso se muestra en la gura siguiente:
Figura 3.1. Diagrama de ujo de caja y el valor futuro y presente de una anualidad vencida
P F t F t +1 F
A
0 1 2 3 . .. t t + 1 . . . n
El valor futuro o total acumulado en cualquier momento es una función que
depende del tiempo t, por lo tanto, denotaremos por:
F t : el valor futuro o acumulado al nal del periodo t, después del pago.
F t +1: el valor futuro o acumulado al nal del periodo t +1, después del pago.
Entre estos valores, y según el diagrama de la gura 3.1., tenemos la siguiente
relación:
F t +1 = F t + iFt + A
Y se interpreta como que el valor total acumulado al nal del periodo t +1,
después de realizado el pago correspondiente, es igual a la suma acumulada al
nal del periodo anterior (Ft), más los intereses devengados por esta suma du-
rante el periodo (iFt), más el pago realizado al nal del periodo (t +1), o sea, A.
La expresión anterior se puede escribir como:
F t +1 = (1+ i) F t + A; con Fo = 0
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