Distribuciones muestrales
| Páginas | 61-85 |
CAP´
ITULO 2
Distribuciones muestrales
2.1 Modelos estad´ısticos
1
Ce paragraphe est consacr´e`a la recherche de la melilleure approximation d’une
variableal´eatoire Ypar une combination affine de nvar iable s al´eatoires donn´ees
X1,X
2,...,X
n.(P. Br´
emaud [12, p´ag. 178])
Se parte de un problema de aplicaci´on y se supone que puede ser expresado
por medio de una variable uni- o multidimensional y formulada en el lenguaje
com´un o en el de la respectiva aplicaci´on. Generalmente estamos interesados
en ciertas caracter´ısticas de esta variable.
Como primer paso escogemos un modelo probabil´
ıstico correspondiente
al problema. Es decir, la variable de inter´es se representa por una variable
aleatoria X, cuya distribuci´on depende de un par´ametro θ=(θ1,...,θ
k)tde
cierto subespacio Θ de Rk, donde la notaci´on xtrepresenta la transpuesta del
vector x. Dicho par´ametro consiste en un vector de n´umeros desconocidos y
debe representar las caracter´ısticas de la variable del problema.
1Esta secci´on est´a dedicada a la b´usqueda de la mejor aproximaci´on de una variable
aleatoria Ypor una combinaci´o n lineal de nvariables aleatorias dadas X1,X
2,...,X
n.
61
95 Intro a la estadistica matematica.pdf 95 19/03/2014 04:04:28 p.m.
62 Humberto Llin´
as Solano
Como los an´alisis estad´ısticos deb en llegar a ciertos conocimientos acerca del
par´ametro, entonces, como segundo paso, se oberva nveces a la variable X,
obteniendo as´ı una muestra aleatoria X=(X1,...,X
n)tde tam a˜
no n.
Es importante recalcar que cada variable muestral Xitiene el mismo tipo
de distribuci´on que la de X, pero puede depender del n´umero ide la obser-
vaci ´on. El vector x=(x1,...,x
n)t∈Rnes una observaci´
on de X.Parael
an´alisis estad´ıstico se deben cumplir siempre las siguientes condiciones:
(a) Las variables muestrales Xideben ser independientes.
(b) La muestra Xdebe ser regular. Es decir, todas las Xison discretas con
funci´on de probabilidad fi) o todas son continuas con funci´on de densidad
fi. Usaremos las notaciones Xi
d
=fi(xi,θ), Xd
=f(x, θ)oXd
=fθ.
(c) El par´ametro debe ser identificable, es decir, si θ∗=θ, entonces fθ∗=
fθ. Con otras palabras, si el modelo se trabaja con otro par´ametro θ∗=θ,
el modelo cambia inmediatamente.
Definici´on 2.1.1 A la familia de distribuciones fθde la muestra aleatoria X,
con θ∈Θ,selellamamodelo estad´
ıstico
A continuaci´on presentamos algunos ejemplos para ilustrar lo explicado.
Ejemplo 2.1.2 (Un modelo de Bernoulli) S e tiene inter´es en el p roblema de
controlar la calidad de algunos productos verificando si estos est´an defectuosos o no.
En tales situaciones es natural representar las respuestas (defectuoso o no) por una
variable de Bernoulli, es decir, una variable aleatoria Xcon posib les valores “ 1”
(si est´a defectuoso) y “0” (si no lo est´a). En principio, el par´ametro de inter´es es
p=P(X=1). Para obtener un modelo estad´ıstico se toma una muestra de tama˜no
nproductos y se apunta si cada uno de ellos est´a defectuoso o no, y se obtienen los
valo re s xi∈{0,1}de las variables aleatorias Xi,coni=1,...,n ynpar´ametros
pi=P(Xi=1). La funci´on de probabilidad conju nta de X1,...,X
nes
f(x1,...,x
n,p
1,...,p
n)=
n
+
i=1
pxi
i(1 −pi)1−xi◭
Ejemplo 2.1.3 (Un modelo de regresi´on lineal, normal) S e tiene inter´es en
medir la dependencia del desgaste de una llanta de carro para diferentes cargas a
Cap´ıtulo 2. Distribuciones muestrales
95 Intro a la estadistica matematica.pdf 96 19/03/2014 04:04:28 p.m.
95 Intro a la estadistica matematica.pdf 96 19/03/2014 04:49:53 p.m.
Para continuar leyendo
Solicita tu prueba