Expectativas de inflación, prima de riesgo inflacionario y prima de liquidez: una descomposición del break-even inflation para los bonos del Gobierno colombiano

315

DESARRO. SOC. 71, PRIMER SEMESTRE DE 2013, PP. X-XX, ISSN 0120-3584

Revista

Desarrollo y Sociedad

78

Primer semestre 2017

PP. 315-365, ISSN 0120-3584

E-ISSN 1900-7760

Expectativas de inflación, prima de riesgo

inflacionario y prima de liquidez: una

descomposición del

break-even inflation

para los

bonos del Gobierno colombiano1

Inflation Expectations, Inflationary Risk Premium

and Liquidity Premium: A Decomposition of

the Break-Even Inflation

for the Colombian

Government’s Bonds

Juan Andrés Espinosa-Torres2

Luis Fernando Melo-Velandia3

José Fernando Moreno-Gutiérrez4

DOI: 10.13043/DYS.78.8

Resumen

Se estima la descomposición del break -even inflation a partir de un modelo

afín de seis factores de la estructura a términos, nominal y real, de los bonos

soberanos de Colombia, dentro de los cuales se incluye un factor asociado

1 Los resultados y opiniones son responsabilidad exclusiva de los autores y su contenido no compromete

al Banco de la República o al Banco Interamericano de Desarrollo ni a sus juntas directivas.

2 Research Fellow, Inter-American Development Bank, 1300 New York Ave NW, Washington, DC 20577,

United States. Correo electrónico: jespinosat@javeriana.edu.co.

3 Econometrista principal, Banco de la Republica, carrera 7 #14-78, Bogotá, Cundinamarca, Colombia.

Correo electrónico: lmelovel@banrep.gov.co.

4 Economista del Departamento de Operación y Desarrollo de Mercados, Banco de la Republica, carrera

7 #14-78, Bogotá, Cundinamarca, Colombia. Correo electrónico: jmorengu@banrep.gov.co.

Este artículo fue recibido el 30 de septiembre del 2015, revisado el 3 de diciembre del 2016 y finalmente

aceptado el 7 de diciembre del 2016.



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a la liquidez. Esta medida se descompone en expectativas de inflación,

prima de riesgo inflacionario y prima de liquidez para el período compren-

dido entre junio del 2004 y abril del 2015. Los resultados obtenidos indican

que el break-eve n inflation es una medida apropiada de las expectativas de

inflación en el corto plazo (dos años). Además, se encuentra que la prima

de riesgo inflacionario disminuye en el tiempo, lo que se puede deber al

aumento de la confianza en la política monetaria por parte de los agentes.

Por último, la prima de liquidez toma valores muy pequeños para la mayoría

de los períodos de tiempo y solo tiene efectos considerables durante ciertos

episodios a lo largo de la curva de rendimientos, como el ocurrido durante

el primer semestre del 2006.

Palabras clave: estructura a términos de las tasas de interés, modelo afín,

break-even inflation, expectativas de inflación, prima de riesgo inflacionario,

prima de liquidez (palabras clave del autor).

Clasificación JEL: G12, C51, C30.

Abstract

We estimate the break-even inflation’s decomposition following a 6 factor

affine term structure model for the nominal and real Colombian government’s

bonds, among which a liquidity factor is included. This measure allows to be

decomposed in inflation expectations, inflationary risk premium and a liqui-

dity premium for the June 2004 to April 2015 period. Our findings show that

the break-even inflation is an appropriate estimate of the short run inflation

expectations (2 years). In addition, we find a time decreasing inflationary risk

premium, which can be associated to an increase in the agents’ trust in the

monetary policy. Finally, the liquidity premium has very small values for most

of the time periods and only has considerable effects for certain periods across

the yield curve, such as the first semester of 2006.

Key words: Term structure of interest rates, affine model, break-even inflation,

inflation expectations, inflationary risk premium, liquidity premium (author´s

key words).

JEL classification: G12, C51, C30.

 317

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Introducción

Con esquemas de inflación objetivo las expectativas de inflación adquieren un

papel importante en el seguimiento e implementación de la política moneta-

ria. Más aún, tal y como señalan Huertas, González y Ruiz (2015), es de vital

importancia que los bancos centrales anclen las expectativas, de tal manera

que se puedan disminuir los costos asociados a la tarea de controlar y redu-

cir la inflación, y así facilitar la conducción de la política monetaria. Debido

a lo anterior, gran parte de los modelos teóricos y prácticos desarrollados por

académicos y hacedores de política incorporan esta variable (González, Jalil

y Romero, 2010). A su vez, los agentes participantes del mercado financiero

han incrementado el monitoreo de las expectativas de inflación para tomar

sus decisiones de inversión.

Por tanto, es relevante contar con medidas que reflejen de manera adecuada

el comportamiento de las expectativas de inflación. En términos generales, las

medidas con las que se cuentan son las encuestas de inflación (expectativas

directas) o las expectativas que se pueden deducir a partir de los títulos nomi-

nales y reales emitidos por los gobiernos (expectativas indirectas). No obstante,

dichas medidas presentan ciertas limitaciones. Por una parte, las encuestas

se realizan a un conjunto limitado de agentes y para ciertos horizontes de

tiempo (por ejemplo, inflación esperada a un año) son menos oportunas, pue-

den adquirir sesgos asociados a las metodologías de recolección y presentan

costos asociados al diseño, recolección, procesamiento y análisis. Por otro lado,

las inflaciones implícitas en los bonos reales y nominales (break-even inflation

[BEI])5 pueden incluir múltiples elementos como las expectativas de inflación,

la prima de riesgo inflacionario, la prima de liquidez, entre otros, lo cual hace

más difícil su interpretación directa como medida de expectativas de inflación.

A pesar de sus limitaciones, el BEI es ampliamente utilizado por los agentes y

hacedores de política, dada la disponibilidad de información y la posibilidad de

calcularlo para un conjunto amplio de períodos de maduración (Melo-Velandia

y Granados-Castro, 2010). Es por esto que la descomposición del BEI en sus

5 El BEI se entiende como el diferencial entre las tasas de interés de los títulos nominales y los reales

(véase sección I.D). Para una definición más profunda de esta variable véase Melo-Velandia y Granados-

Castro (2010).



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distintos componentes ha venido cobrando importancia, por lo que han sido

desarrollados diferentes métodos para su estimación.

Tal como señalan Abrahams, Adrian, Crump, Moench y Yu (2016), la literatura

referente a la estimación de expectativas de inflación a partir de bonos reales

y nominales de los gobiernos ha crecido rápidamente. Por ejemplo, Adrian y

Wu (2010), Chen, Liu y Cheng (2010), Christensen, López y Rudebusch (2010),

García y Werner (2010), Grishchenko y Huang (2013) y Hördahl y Tristani

(2010), entre otros. Respecto a documentos de trabajo de diferentes bancos

centrales, es posible encontrar literatura en esta línea para el Banco de Japón

(Imakubo y Nakajima, 2015), la Reserva Federal (Abrahams et al., 2016), el

Banco Central Europeo (Ejsing, García y Werner, 2007), el Bundesbank (Kaju-

tha y Watzkab, 2011), el Banco de Canadá (Christensen, Dion y Reid, 2004), el

Banco Central de México (Banco de México, 2013), el Banco Central de Chile

(Chumacero y Opazo, 2008) y el Banco de la República (Arias, Hernández y

Zea, 2006; Melo-Velandia y Granados-Castro, 2010; Melo-Velandia y Moreno-

Gutiérrez, 2011), entre otros.

En términos generales, la literatura señalada descompone el BEI mediante

modelos afines gaussianos estimados por máxima verosimilitud, utilizando

filtro de Kalman. Generalmente, esta descomposición se realiza en dos facto-

res: expectativas de inflación y prima de riesgo inflacionario. Si bien esta es

la norma, varios autores han señalado algunas debilidades de estos modelos.

Dentro de las principales desventajas se tiene que la estimación es costosa

en términos computacionales, por lo que dichos modelos tienden a utilizar

tres componentes o factores latentes para la representación de la estructura

a término, no tienen en cuenta la heterogeneidad de la liquidez de los títulos y

suponen no correlación sobre los errores de los precios de los rendimientos.

Por tal razón, Abrahams et al. (2016) plantearon un modelo afín para la des-

composición del BEI de los bonos del Gobierno de Estados Unidos, que se

estima mediante una metodología que utiliza regresiones lineales, basados en

Adrian et al. (2013). Dicha metodología permite dejar de lado supuestos men-

cionados previamente, reduce los costos computacionales, y además permite

ajustar por la liquidez de los bonos reales relativa a los nominales. Respecto a

este último punto, la literatura ha señalado constantemente la menor liquidez

de los bonos atados a la inflación (Dudley, Roush y Ezer, 2009; Sack, 2000) y

la necesidad de tener en cuenta la liquidez relativa de los dos tipos de bonos

 319

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para los análisis referentes al BEI (P�ueger y Viceira, 2013), lo que lleva a que

el trabajo de Abrahams et al. (2016) adquiera mayor relevancia en la literatura6.

En Colombia, tal como lo señalan Gómez, Uribe y Vargas (2002), el seguimiento

de las expectativas de inflación ha desempeñado un papel importante en

el monitoreo de la política monetaria y en la implementación del esquema de

inflación objetivo adoptado por el Banco de la República. Trabajos como

el de Arango, Flórez y Arosemena (2005), Vargas, González, A., González, E.,

Romero y Rojas (2010) y Huertas et al. (2015), entre otros, utilizan medidas de

expectativas de inflación para el análisis de política monetaria, el desarrollo

de modelos macroeconómicos y la evaluación de pronósticos de inflación. Lo

anterior señala la importancia de contar con mejores indicadores de expec-

tativas de esta variable.

Por su parte, son varias las encuestas de inflación con las que se cuenta desde

que se adoptó el esquema monetario actual. La mayoría de estas encuestas

presentan una periodicidad mensual y consideran en general las expectativas

para el siguiente mes, fin de año y doce meses adelante7. De esta manera, no

se cuenta con encuestas que permitan tener una medida de expectativas de

inflación para plazos superiores a los previamente señalados8. Ante esto, el

BEI se ha convertido en una medida de expectativas de inflación ampliamente

utilizada dentro del análisis de la política monetaria y en las decisiones de los

inversionistas en Colombia.

A pesar de esta creciente relevancia, en Colombia la literatura respecto a la des-

composición del BEI no es muy extensa. En el límite de nuestro conocimiento,

Arias et al. (2006), Melo-Velandia y Granados-Castro (2010), Melo-Velandia y

Moreno-Gutiérrez (2011) y Ríos y Girón (2013), han realizado trabajos asocia-

dos a la descomposición o corrección del BEI de los bonos del Gobierno colom-

biano. Específicamente, Arias et al. (2006) utilizan un modelo de valoración

con el fin de estimar una medida de compensación de inflación, mientras que

6 Otro trabajo que tiene en cuenta un factor de liquidez es el de D’Amico, Kim y Wei (2008). No obstante,

en dicho trabajo el factor es latente, mientras que en el trabajo de Abrahams et al. (2016) dicho factor

es observable.

7 A partir de enero del 2015, el Banco de la República implementó una encuesta de inflación esperada

a dos años.

8 Por ejemplo, en Estados Unidos la Reserva Federal de Filadelfia realiza una encuesta a agentes profe-

sionales en pronóstico para la inflación a diez años.



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Melo-Velandia y Granados-Castro (2010), Melo-Velandia y Moreno-Gutiérrez

(2011) y Ríos y Girón (2013) estiman modelos afines, con ciertas diferencias,

para descomponer el BEI en prima de riesgo inflacionario y expectativas de

inflación. Un punto en común que tienen los documentos es el hecho de señalar

el problema en la descomposición o estimación referente a la menor liquidez

relativa de los títulos denominados en Unidad de Valor Real (UVR), el cual, si

bien los autores lo señalan, ninguno incorpora alguna medida para corregirlo.

Frente a este último punto, como se puede observar en el apéndice A, los

bonos de deuda pública del Gobierno colombiano denominados en UVR, en

general, son significativamente menos líquidos que los bonos denominados

en pesos. Además, debido al esquema de colocación que históricamente se

ha realizado para los títulos UVR, desde el 2004 se puede encontrar que por

momentos y para ciertos vencimientos (por ejemplo, 1, 2 y 10 años) no hay

títulos disponibles en el mercado.

Por tanto, con el fin de mejorar las medidas relacionadas con expectativas de

inflación, particularmente aquellas asociadas al BEI de los bonos del Gobierno

colombiano, el presente documento estima y descompone el BEI en expectati-

vas de inflación, prima de riesgo y prima de liquidez, utilizando la metodología

desarrollada por Abrahams et al. (2016). Como se mencionó, dicha metodolo-

gía es menos costosa en términos computacionales y tiene en cuenta la prima

de liquidez de los bonos, lo cual no ha sido contemplado previamente para el

caso colombiano. Al considerar esta prima, se debería obtener una mejor esti-

mación de las expectativas de inflación basadas en el BEI.

El documento se divide en tres secciones después de esta introducción. La

primera sección describe la metodología empleada para la descomposición

del BEI, mientras que en la segunda sección se presentan los resultados. Por

último, se realizan algunos comentarios finales.

I. Metodología

En esta sección se presenta el modelo econométrico utilizado, el método de

estimación y la construcción de la estructura a términos de los bonos nomi-

nales e indexados por inflación siguiendo la metodología de Abrahams et al.

(2016), de ahora en adelante denominada AACM.

 321

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A. Variables de estado y factor de descuento estocástico

Siguiendo a AACM, el vector de variables de estado Xt, que en la práctica corres-

ponden a componentes principales de los rendimientos nominales o reales,

variables macroeconómicas o indicadores de liquidez, entre otros, de dimen-

sión K 1 puede ser modelado por el siguiente proceso VAR(1):

X X

t X t X t+ +

− µ φ − µ +υ

1 1

=

( )

(1)

Donde las innovaciones υ+t t

X

1 siguen una distribución normal, N(0, ). Se

asume que para los precios de un bono con vencimiento n en el período t,

t Pt

n

,( ) , existe un factor de descuento estocástico exponencialmente afín que

valora estos activos con la siguiente ecuación:

M r

t t t t t t+

−

+

− − λ ′λ −λ ′Σ υ

1 1

1

2

=











exp ½ (2)

Además, se define rt como la tasa libre de riesgo; y, según Duffee (2002), se

asume que los precios de riesgo del mercado siguen la forma:

λ Σ λ + λ

−

t t

X=

( )

½

0 1 (3)

El término t es de gran importancia estadística y económica, ya que caracte-

riza el riesgo asociado a cada variable de estado. Este se puede desagregar en

una constante 0

( )

, relacionada con el nivel de estos precios, y en un vector

1

( )

asociado a la relación entre el precio y estas variables.

Por último, se definen los parámetros que caracterizan la dinámica de los acti-

vos con la medida de valoración (



), la cual permite caracterizar el compor-

tamiento del mercado en ausencia de arbitraje, pero con presencia de riesgo

 

1 0 0, ≠

( )

:



µ− φ µ − λ=

( )

IK X 0 (4)

φ = φ − λ



1 (5)

Estos son importantes para calcular las recursiones utilizadas para desagregar

los bonos nominales, indexados por inflación y BEI en 3 componentes: medidas



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de riesgo neutral, primas de riesgo y primas de liquidez. Estas son presentadas

en las siguientes secciones.

B. Bonos nominales

En los modelos afines, el logaritmo de los precios para un bono descontado

por una tasa libre de riesgo con vencimiento n en el período t, es lineal en las

variables de estado siguiendo la forma:

In P A B X

t

n

n n t

( )

=+′ (6)

Lo anterior implica que la tasa libre de riesgo es afín en las variables de estado:

r X

t t

=δ +δ′

0 1 (7)

Imponiendo condiciones de no arbitraje, es posible reescribir esta relación de

forma iterativa a través del siguiente sistema de ecuaciones:

A A B B B

n n n n n

=− −

′

−

′

−

+ µ+ Σ− δ

1 1 1 1 0

1

2

 (8)

B B

n n

′

−

′ ′

φ− δ=1 1



(9)

B A

Kx0 1 0

0 0

 

= =, (10)

lo cual permite tomar como valores iniciales

B y

A

1 1 1 0

= =  .

Por último, se denota el exceso de retorno (en logaritmos) para un bono como

rxt

n

+

−

1

( )

, definido de la siguiente manera:

rx P P r

t

n

t

n

t

n

t+

−

+

−− −

1

( ) ( ) ( )

=In In (11)

Reemplazando (6) y (7) en (11), e imponiendo las ecuaciones recurrentes se

obtiene la siguiente expresión:

( )

=

1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 1

n

t n n n t n t

n n t n t

rx A A B X B X

B X B X

−′ ′ ′

+− − +

′ ′

− − − +

− −δ − + δ +

α − φ +

˜ (12)

 323

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donde α− µ+ Σ

− −

′

−

′

−n n n n

B B B

1 1 1 1

1

2

=













. Es de notar que esta representación faci-

lita el procedimiento de estimación de los parámetros que caracterizan los

excesos de retorno nominales presentados en la sección I.F.1.

C. Bonos indexados por inflación (reales)

A continuación, se extiende el marco teórico de manera que puedan tenerse

en cuenta activos indexados por inflación. Siguiendo a AACM, sea Qt un índice

de precios en el tiempo t, y sea Pt R

n

,

( )

el precio en el período t de un activo

indexado por inflación con valor facial 1, el cual paga la cantidad Q

Q

t n

t

+ en el

período t + n; entonces, el precio de este activo satisface la siguiente ecua-

ción de valoración:

P E exp r r Q

Q

t R

n

t t t n

t n

t

,

( )

=

( )





















− −…− + −

+

1 (13)

Donde Et

 el valor esperado con la medida de valoración. Sea π

−

t

Q

=











In

1

la inflación obtenida para un período. Por tanto, se cumple lo siguiente:

Q

t n

ti

n

t i

+

Σ π=











=

exp 1 (14)

Además, se asume de forma similar al caso de los nominales que el logaritmo

de estos precios es afín en las variables de estado:

In P A B X

t R

n

n R n R t, , ,

( )

=+′ (15)

Esto implica a su vez que la inflación para un período es una función lineal

de las variables de estado:

π π + π′

t t

X=0 1 (16)

donde 0 es un escalar y 1 es un vector de tamaño K  1. Es de notar que

la ecuación (13) puede reescribirse en términos de un bono indexado que se

compra un período más adelante:



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P E r P

t R

n

t t t t R

n

, ,

( ) ( )

=

( )

{ }

exp − +π+ +

−

1 1

1 (17)

Esta representación permite derivar un sistema de ecuaciones iterativo para la

ecuación (15) similar al de los bonos nominales, el cual tiene la siguiente forma:

A A B B B

n R n R n R n R n R R, , , , , ,

=

( ) ( ) ( )

− − − −

+ + π′µ+ + π′Σ +π − δ

1 1 1 1 1 1 1 0

1

2

 (18)

B B

n R n R, ,

′

−

′

+π′−δφ=

( )

1 1 1



(19)

B A

R kx R0 1 0

0 0

, ,

,

= = (20)

donde el parámetro asociado a la tasa de corto plazo real se define como

δ δ −π

0 0 0,R=. Por otra parte, es de notar que el sistema planeado permite

tomar como valores iniciales B y A

R R R1 1 1 0, , ,

= =δ δ

′ . Lo anterior implica que

los excesos de retorno para estos activos vienen dados por:

rx P P r

t R

n

t R

n

t R

n

t+

−

+

−− −

1

, , ,

( ) ( ) ( )

=In In (21)

Sumando la inflación para un período en ambos lados de la ecuación (21), y

combinando esta expresión con las ecuaciones (16), (18) y (19), se obtiene la

siguiente expresión:

rx B X B X

t R

n

t n R n R t n R t+

−

+ − − − +

+πα− + π′ + + π′φ

1

1 1 1 1 1 1 1, , , ,

( )

=

( ) ( )

 (22)

donde α− +π′µ+ +π′Σ + π

− − − −n R n R n R n R

B B B

1 1 1 1 1 1 1

1

2

, , , ,

=

( ) ( ) ( )















Finalmente, se agrupan los excesos de retorno nominales de la ecuación (12)

junto con los indexados por inflación de la ecuación (22) en el vector R9, obte-

niendo el siguiente sistema de ecuaciones de forma compacta:

R X X

t t t+ +

α−φ +

1 1

=B B



(23)

donde α− µ+ γ=











B1

2, B=

( )

B B B B

N R N R

N R

1 1 1 1

, , , , ,

, ,

… +π … + π ′,

γ Σ … Σ

′ ′

=

(

B B B B

N N

1 1

, ,

,

B B B B

R R N R N R

R R

1 1 1 1 1 1, , , ,

, ,+π′Σ + π … +π ′Σ + π′

( ) ( )

)

9 Es de notar que las matrices se resaltan en negrita en todo el documento.

 325

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y NN, NR corresponden al número total de vencimientos para los activos nomi-

nales e indexados por inflación, respectivamente.

D. Expectativas de inflación

Dado el modelo afín presentado en las secciones I.B y I.C es posible estimar

el BEI y las expectativas de inflación con la medida de valoración y de riesgo

neutral para cualquier horizonte de tiempo. En este contexto, el BEI t

n

( )

se

calcula como la diferencia entre los rendimientos nominales yt

n

( )

e indexa-

dos por inflación yt R

n

,

( )

para un horizonte de tiempo n, cuya expresión es la

′ ′

t

n

t

n

t R

n

n n t n R n R

y y nA B X A B

( ) ( ) ( )

= =

( )











, , ,

1 (24)

Con la medida de riesgo neutral, se cumple que Λ λ λ=

[ ]

=

0 1 0 y por tanto,

los rendimientos nominales e indexados por inflación de riesgo neutral, así

como las expectativas de inflación, se obtienen reemplazando los parámetros



µφ y por sus versiones ajustadas por riesgo IK X

−φ µ

( )

y  en las ecuacio-

nes (8), (9), (18) y (19). La expresión que rige estas expectativas de riesgo neu-

tral es la siguiente:

π − − + − +

′ ′

t

n RN

t

n RN

t R

n RN

n

RN

n

RN

t n R

RN

n R

y y nA B X A B

( ) ( ) ( )

= =

, ,

,

, ,

1RRN

( )









 (25)

Por tanto, la prima de riesgo inflacionario en el período t para el horizonte

de tiempo n, definida como la compensación que reciben los inversionistas

por asumir un riesgo inflacionario, puede calcularse como la diferencia entre

el BEI y las expectativas de inflación, lo cual es equivalente a restar la prima

por término de los activos nominales de la prima por término de los activos

indexados por inflación, es decir:

ϕπ−π

− − −

t

n

t

n

t

n RN

t

n

t R

n

t

n RN

t

y y y y

( ) ( ) ( )

=

=









,

RR

n RN

( )











,



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Agrupando por tipo de activo, se obtiene la siguiente expresión:

ϕ− − −

ψ

t

n

t

n

t

n RN

t R

n

t R

n RN

y y y y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

















=

,

, ,

,

tt

n

t R

n

( ) ( )

−ψ, (26)

donde t

n

( )

y t R

n

,

( )

denotan la prima por término de los activos nominales e

indexados por inflación para el período t con vencimiento n, respectivamente.

Hasta el momento fue presentada la descomposición del BEI en sus dos ele-

mentos tradicionales: expectativas y prima de riesgo inflacionario. Este marco

teórico se amplía en la siguiente sección, realizando la inclusión de factores de

liquidez, los cuales permiten realizar la descomposición incluyendo una prima

de liquidez asociada a estos activos.

E. Efectos de liquidez

La manera de modelar efectos de liquidez para los bonos en este marco teó-

rico se presenta a continuación.

Sea Lt una variable de estado que captura la liquidez de los activos, la cual se

asume como observada; entonces, al expandir el conjunto de variables de estado

Xt a X X L

t

L

t t

=

[ ]

, se mantienen las relaciones establecidas en las ecuaciones

(8), (9), (18) y (19). Esta expansión permite obtener la prima de liquidez para

estos activos, así como las medidas ajustadas por liquidez en todos los casos. Lo

anterior se logra restringiendo a O la ponderación asociada al factor de liqui-

dez en cada caso (BnL,=0, BnL

RN

,=0, BnL R, , =0 y Bn L R

RN

, , =0, respectivamente)10.

Luego es posible calcular los componentes de liquidez en el período t con

vencimiento n con cada medida como B L

n L t,, B L

n L

RN

t, para los bonos nominales,

y B L

n L R t, , , B L

n L R

RN

t, , para los bonos indexados por inflación. Por tanto, la prima

de liquidez nominal y real puede calcularse como se muestra a continuación:

ξ −

t

n

n L t n L

RN

t

nB L B L

( )

=









1

, , (27)

y

10 En el apéndice B se presentan estas ecuaciones en detalle.

 327

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ξ −

t R

n

n L R t n L R

RN

t

n

B L B L

, , , , ,

( )

=









1

(28)

Por otro lado, el componente del BEI asociado a la prima de liquidez puede obte-

nerse de forma similar a la prima de riesgo inflacionario, restando las respecti-

vas primas de liquidez de bonos nominales e indexados por inflación, es decir:

ϑ ξ − ξ

t

n

t

n

t R

n

( ) ( ) ( )

=, (29)

Los resultados de estas descomposiciones se presentan en la sección II.C.

F. Estimación

En esta sección se muestra el procedimiento utilizado para estimar los pará-

metros del modelo que describe los excesos de retorno dados en la ecuación

(23). Posteriormente, se discute la estimación de los parámetros δ δ′

0 1

,

( )

y

 

0 1

,

( )

que caracterizan la tasa libre de riesgo y la inflación.

1. Estimación de los parámetros

La metodología utilizada para estimar los parámetros del modelo corresponde

al siguiente procedimiento propuesto por AACM, el cual es similar al estimador

en tres etapas de Adrian et al. (2013) y es presentado a continuación.

Primero, a partir de la ecuación (23) se agrupan los datos de la siguiente manera:

R B X BX E=αι − φ _ + +

′

T



(30)

donde R es de orden N  T, X_ y X son matrices de tamaño K  T de los datos

agrupados de Xt–1 y Xt , respectivamente, y T es un vector de orden T  1 de

unos. La matriz E corresponde a los errores de medición de los retornos agru-

pados, donde la n-ésima columna, en, satisface

E e

n n10

{ }

= y

E e

e

n n n e−

′Σ

1

{ }

=.

Dada esta representación, se realiza el siguiente procedimiento:

0. Se extraen los primeros KN componentes principales sobre los rendimientos

de la curva cero cupón nominal a través del método de descomposición en



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valores singulares11. Una vez obtenidos, estos factores son estandarizados.

Después, se obtienen los primeros KR componentes principales utilizando la

misma metodología sobre los residuales de regresiones para rendimientos

de la curva cero cupón de bonos indexados por inflación sobre los com-

ponentes principales nominales y el factor de liquidez. Estos K K

N R

+ +1

variables corresponden al vector de variables X

t

L utilizados en la estimación.

1. Posteriormente, se estima la regresión descrita en (1) usando mínimos

cuadrados ordinarios (MCO) para las variables centradas en media, utili-

zando los promedios muestrales obtenidos anteriormente como estimadores

de X. Además, de esta estimación se obtienen los residuales, 



t+1, y su

matriz de varianza-covarianza, definida como Σ′−



 

=

( )

VV /T1, donde V



de dimensión K  T se obtiene agrupando las innovaciones estimadas. Es de

notar que Stock y Watson (2002) (en adelante SW) muestran que los

estimadores de modelos lineales provenientes de estos componentes son

consistentes cuando el tamaño de la muestra y el número de series tiende

a infinito con el supuesto de estacionariedad en el sistema. La estimación

de esta primera etapa es similar a la del modelo dinámico presentado por

SW en su segunda etapa, ya que los factores nominales y reales son va-

riables latentes obtenidas mediante el método de análisis de componentes

principales, los cuales se utilizan para estimar un modelo VAR.

2. Se estima la ecuación (30) a través de una regresión SUR, obteniendo los

estimadores αφ









ols ols ols

, ,B B

( )

. Utilizando los residuales estimados de esta

regresión E



ols, se obtiene Σ−′

eols ols

T



 

=1E E . Entonces, el estimador de

φ

~ es:

φ − Σ Σ φ

′ − −′−





 



gls ols e ols ols e ols

=

( )

B B B B

111

Después, se estima la regresión SUR: R B X X=

( )

αι + −φ _ +

′

T gls

ɶ



, de

la cual se obtienen estimadores más eficientes de  y

B

, los cuales se

11 Para identificar correctamente estos parámetros, un factor se rota cuando el promedio de sus ponde-

raciones sea negativo. Esto asegura que las medias de las ponderaciones no puedan resultar negativas.

 329

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denominan como 



gls y B



gls. Por último, se estima ~

µ

a través de la siguiente

expresión:

~

donde 

gls definida en la sección I.C se construye utilizando B



gls y





.

3. Dadas las relaciones descritas en las ecuaciones (4) y los estimadores

ˆ

x y





, los precios del riesgo del mercado se obtienen a través de las siguientes

expresiones:

(31)

λφ−φ

ɵ







1=gls (32)

AACM muestran que los errores estándar asintóticos de los estimadores

(31) y (32) se pueden obtener del siguiente resultado:

T

vec

N

d

λ−λ

ν

0 0

1 1

0





( )













 → 











,λλ λ λ

′

λ λ λ

ν

0 0 1

0 1 1

C

,

























 (33)

Las expresiones para νλ λ λ

0 0 1

,,

C y νλ1 se presentan en el apéndice C.

2. Descomposición del BEI y estimación de los parámetros asociados a

la tasa libre de riesgo y la inflación

Antes de calcular el proceso iterativo para los bonos nominales, es necesa-

rio estimar δ δ′

0 1

,

( )

asociados a la tasa libre de riesgo. Dado que esta tasa es

observada y afín en las variables de estado, estos parámetros se obtienen al

estimar una regresión de los rendimientos nominales correspondientes al pri-

mer mes (n = 1) en unidades porcentuales, contra una constante y los facto-

res obtenidos Xt, es decir: yX u

t

t t

1

0 1

1

12

( ) ( )

=δ +δ +

′, donde ut

1

( )

denota el error de

valoración del rendimiento nominal con vencimiento a un mes.



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Por otra parte, para resolver las recursiones presentadas en (18) y (19), es

necesario conocer los parámetros 0 y 1 que caracterizan la evolución de la

inflación en términos de las variables de estado. En el apéndice D se muestra

que 0 representa la inflación de largo plazo del modelo, así como el proce-

dimiento realizado para estimar 0 y 1.

Una vez se tienen estimados estos parámetros, se realiza el proceso recurrente

para los bonos nominales descrito en (36) y (37), y de forma similar para los

bonos reales; en esta etapa se obtienen los rendimientos estimados nominales y

reales, ajustados por liquidez,

y

t

n LA



( )

, y ytR

n LA

,

,

( )

. Este procedimiento se repite supo-

niendo que los precios del riesgo son cero ( = 0); de esta forma, se obtienen

los rendimientos estimados con la medida de riesgo neutral, yt

n RN LA



( )

, , y yt R

n RN LA

,

, ,

( )

.12

Las medidas anteriores permiten calcular las primas por término  

 

t

n LA

t R

n LA

( ) ( )

()

,

y de riesgo inflacionario 



t

n LA

( )













, de acuerdo con la ecuación (26). Como paso

siguiente se calcula el BEI estimado por el modelo 



t

n LA

( )













, y las expectativas

de inflación 



t

n RN LA

( )













, , siguiendo las ecuaciones (24) y (25)13. De forma seguida,

la estimación de la prima de liquidez de los bonos nominales 

t

n

( )

()

y reales



t R

n

,

( )

()

se realiza a partir de las ecuaciones (27) y (28); por último, el compo-

nente del BEI asociado a la liquidez 

t

n

( )

()

se estima a partir de la ecuación

(29), de forma que π≈π +ϕ + ϑ

 



ɵ

t

n

t

n RN LA

t

n LA

t

n

( ) ( ) ( ) ( )

, , , .14

II. Resultados

Esta sección se divide de la siguiente manera: descripción de los datos utiliza-

dos, resultados de las estimaciones del modelo y análisis de bondad de ajuste

para el mismo; por último, se presentan las descomposiciones de los rendi-

12 Este procedimiento se describe en detalle en el apéndice B.

13 Es importante anotar que tanto las estimaciones de las primas por término y de riesgo inflacionario así

como las estimaciones del BEI y de las expectativas de inflación se realizan usando el modelo expandido

por liquidez.

14 Además, en la figura 6 del apéndice F puede apreciarse que el BEI estimado por el modelo sin ajustar

por liquidez, 



t

n( )

, es muy similar al BEI observado, t

n( ).

 331

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mientos nominales y reales obtenidas en el proceso recurrente estimado en

las ecuaciones (8), (9), (18) y (19). Estas incluyen la descomposición del BEI

en expectativas de inflación, prima de riesgo inflacionario y componente de

liquidez.

A. Descripción de los datos utilizados

Los rendimientos, yt

n

( )

y ytR

n

,

( )

, asociados a la curva cero cupón nominal y real,

respectivamente, son calculados a partir de los parámetros de la metodolo-

gía propuesta por Nelson y Siegel (1987) para los títulos de tesorería (TES) en

pesos y en UVR transados en el Sistema Electrónico de Negociación (SEN) y

Mercado Electrónico de Colombia (MEC), con vencimientos (n) entre 1 y 96

meses15. Como tasa libre de riesgo se utiliza la tasa interbancaria (TIB) obte-

nida en la página web del Banco de la República, y como medida Qt se toma el

índice de precios al consumidor (IPC) en frecuencia mensual, el cual se encuen-

tra disponible en la página web del Departamento Administrativo Nacional

de Estadística (DANE). La muestra utilizada incluye los períodos de frecuencia

mensual comprendidos entre junio del 2004 y abril del 2015.

Por otra parte, siguiendo la metodología de AACM, el factor de liquidez Lt se

construye de la siguiente manera: primero, se obtienen los residuales de la

estimación de la curva de rendimiento cero cupón para los TES en UVR por

la metodología de Diebold y Li (2006)16. Autores como Fleming (2000) y Hu,

Pan y Wang (2013) utilizan este tipo de residuales como una medida de liqui-

dez, puesto que “grandes desajustes en los rendimientos pueden implicar estrés

en el mercado o la inhabilidad de los inversionistas para aprovechar errores de

valoración percibidos por el mercado” (AACM). Segundo, se toma el promedio

móvil de 13 semanas17 de la razón de montos transados de TES en pesos res-

pecto a UVR, el cual captura la liquidez de los títulos nominales relativa a los

reales. Posteriormente, estas series son estandarizadas y se calcula Lt en fre-

cuencia diaria como el promedio simple entre estas dos medidas. Por último,

15 Los parámetros de la metodología de Nelson y Siegel se obtuvieron de la estimación realizada por

la Bolsa de Valores de Colombia (BVC), y se encuentran en frecuencia diaria; como dato mensual se

seleccionó el correspondiente al último día de cada mes.

16 Estos residuales son calculados con base en la información del mercado proveniente del SEN y MEC.

17 También se realizaron ejercicios con 12, 15 y 16 semanas. En estos casos, los resultados obtenidos son

similares.



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con el objetivo de garantizar que esta medida sea positiva, a este promedio se

le suma el mínimo de esta serie diaria y se lleva a frecuencia mensual tomando

el último dato de cada mes.

Teniendo en cuenta a Scheinkman y Litterman (1991), se calculan los prime-

ros KN = 3 componentes principales sobre los rendimientos de los TES en pesos

con vencimientos n = 3, 4, 5,..., 96 meses. Con el objetivo de reducir la posi-

ble multicolinealidad entre los componentes principales de las curvas nomi-

nales y reales, se obtienen los KR = 2 primeros componentes principales de los

residuales obtenidos a partir de regresiones de los rendimientos de los TES en

UVR sobre los 3 componentes nominales y el factor de liquidez, con venci-

mientos n = 24, 25, 26..., 96 meses18. En este procedimiento se encuentra que

aproximadamente el 99,73% de la variabilidad de estos residuales se explica

por estos 2 factores.

Por tanto, el modelo estimado incluye KN = 3 factores nominales, KN = 2 fac-

tores reales, y 1 factor de liquidez, los cuales corresponden al conjunto de

KN + KR + 1 = 6 variables estado Xt

L utilizadas para estimar la ecuación (1).

Posteriormente, se calculan los precios asociados a estos rendimientos y los

excesos de retorno, a partir de la ecuación (11) para los vencimientos n = 6,

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 y 96 meses para los títulos nominales, mientras que

para los reales se utiliza la ecuación (21) para los vencimientos n = 24, 36,

48, 60, 72, 84, y 96 meses; de esta manera, el número de vencimientos para

realizar la estimación previamente descrita es NN = 9 y NR = 7, lo cual da un

total de N = 16.

B. Estimación del modelo de 6 factores y bondad de ajuste

En esta sección se presentan las estimaciones de los parámetros asociados a

los precios de riesgo del mercado (0 y 0) del modelo, a partir de los 6 fac-

tores previamente descritos y del procedimiento de estimación en 3 etapas

mostrado en la sección I.F.1. Además, se presentan las medidas de bondad de

ajuste calculadas para el proceso recurrente descrito en las secciones I.B y I.C.

18 Esta elección se realiza debido a la poca profundidad del mercado para títulos transados con venci-

mientos menores a 2 y mayores a 8 años.

 333

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En primer lugar, se presentan las medidas diagnósticas utilizadas para com-

probar una adecuada especificación y ajuste del modelo estimado para realizar

las respectivas descomposiciones del BEI y de las tasas de interés nominales

y reales. Una manera de verificar una apropiada bondad de ajuste entre los

rendimientos y su aproximación afín descrita en las ecuaciones (6) y (15), así

como verificar una adecuada estimación de las descomposiciones descritas en

la sección I.D, consiste en realizar un análisis descriptivo sobre los residuales

obtenidos por las recursiones, el cálculo del BEI y las regresiones de los exce-

sos de retorno. En el apéndice E se presentan estas estadísticas19.

Por otra parte, en la figura 5 se presenta el rendimiento promedio para cada

vencimiento de los bonos nominales y reales observados y estimados, estos

muestran el ajuste promedio de la curva de rendimiento en ambos casos a

lo largo de la estructura a término20. Al igual que los resultados de las tablas

anteriormente descritas, se observa que no existen indicios de un mal ajuste

del modelo; no obstante, en los últimos vencimientos se observa una leve ten-

dencia a desmejorar el ajuste en los rendimientos reales.

Para verificar si el proceso iterativo utilizado para descomponer estas tasas

es adecuado, en el apéndice G se muestran las figuras comparativas entre

Bgls N N

B B N

,, ,=

( )

1 y B para los bonos nominales, donde B se obtiene a tra-

vés de las recursiones presentadas en las ecuaciones (8) y (9). En el caso

de los bonos indexados por inflación, esta comparación se realiza entre

Bgls R R N

B B R

, , , ,=

( )

1 1 1

+π … + π y BR+π1 obtenido en las recursiones (18) y

(19). Además, es de notar que

B

gls N, y

B

gls R, se estiman en la segunda etapa del

procedimiento de estimación presentado en la sección I.F.1. Los resultados de

estas figuras muestran que estos términos son similares para ambos activos.

Por último, al realizar el procedimiento de estimación descrito en el apéndice D

se encuentra una inflación de largo plazo,





0, de 3,2% anual, con un error

estándar de 0,301, la cual se encuentra dentro del rango meta del Banco de

la República (2% - 4%) y es cercana a la meta puntual del 3%.

19 Por otra parte, buscando comprobar una adecuada estimación del modelo VAR en el ejercicio empírico,

se realizaron pruebas de raíz unitaria sobre las innovaciones del VAR con el fin de verificar el supuesto

de estacionariedad. Además, según la prueba de Godfrey (1979), se concluye que estas innovaciones

no están autocorrelacionadas para menos de T

4 rezagos.

20 También, en el apéndice F se presenta la figura de los rendimientos en ambos casos y el BEI observado

y ajustado para el modelo de 6 factores.



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Dados los resultados de estas medidas, es posible concluir que el proceso ite-

rativo utilizado es una aproximación adecuada de la estructura a plazo de las

tasas de intereses nominales, reales y el BEI. Por tanto, se presentan a con-

tinuación los resultados de la estimación de los coeficientes asociados a los

precios del riesgo del mercado (0 y 1), así como algunas pruebas de hipótesis

que permiten evaluar la adecuada especificación del modelo.

La evaluación de la significancia conjunta e individual de los parámetros asocia-

dos a los precios de riesgo de mercado se realiza mediante un test de Wald pro-

puesto por AACM21 utilizando los errores estándar obtenidos en el apéndice C.

Los valores p de las pruebas de significancia conjunta se reportan en las dos

últimas columnas del cuadro 1. Estos resultados muestran que los precios de

riesgo del mercado son significativos para el nivel, pendiente y curvatura de

la curva cero cupón nominal y ambos factores provenientes de los rendimien-

tos de los TES en UVR, lo cual implica que ambas estructuras a término res-

ponden significativamente de forma conjunta ante cambios en el precio del

riesgo asociado a estos factores. En línea con lo anterior, se espera que cambios

en el nivel, pendiente y curvatura de la curva cero cupón nominal impliquen

movimientos sobre las estructuras a término nominales y reales, tal como es

sugerido por AACM; por tanto, es de esperar que la dinámica de los precios

de los activos con la medida de valoración en el proceso iterativo depende en

gran medida de los factores asociados a ambas curvas.

De forma similar, para el caso nominal Espinosa-Torres et al. (2014) encuen-

tran que la estructura a término de los TES en pesos responde de forma sig-

nificativa ante movimientos en los precios del riesgo asociados a los factores

de la estructura a término nominal, resultado que por lo general se encuen-

tra en la literatura (Adrian et al., 2013; Cochrane y Piazzesi, 2005; Cochrane

y Piazzesi, 2008; Scheinkman y Litterman, 1991).

Además, en el cuadro 1 se evalúa la significancia individual para determinar

la manera como cada uno de los factores afectan a los precios del riesgo. Para

el precio del riesgo asociado al primer factor (X1) se encuentra que los coefi-

cientes del factor 1, 5 y 6 (1,1, 1,5, y 1,6 ) son significativos, lo cual indica que

21 Espinosa-Torres, Melo-Velandia y Moreno-Gutiérrez (2014) presentan estas pruebas en detalle.

 335

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los factores relacionados con el nivel de la curva cero cupón nominal, el pri-

mer factor real y la liquidez afectan al precio del riesgo asociado a X1.

Cuadro 1. Estimación de los parámetros  para el modelo de 6 factores

Factores

(j) 01, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6

H

0: 

j

= 0

Valor P

H

0: 1

j

= 0

Valor P

X1

-0,030 -0,045 0,021 -0,031 0,004 -0,094 0,264 0,000 0,000

(0,434) (0,015) (0,241) (0,107) (0,844) (0,000) (0,000)

X2

-0,058 0,032 -0,014 -0,022 -0,060 0,127 -0,249 0,000 0,000

(0,688) (0,352) (0,656) (0,617) (0,090) (0,000) (0,000)

X3

0,008 0,047 0,003 -0,210 -0,032 0,255 -0,328 0,000 0,000

(0,981) (0,525) (0,964) (0,043) (0,672) (0,000) (0,002)

X4

0,115 -0,011 0,087 -0,103 -0,224 0,093 0,244 0,000 0,000

(0,867) (0,912) (0,247) (0,191) (0,003) (0,183) (0,003)

X5

-0,241 -0,020 -0,018 0,079 -0,165 -0,290 -0,139 0,000 0,000

(0,889) (0,907) (0,906) (0,699) (0,420) (0,034) (0,429)

X6

0,627 -0,023 -0,010 0,024 -0,156 -0,022 0,001 0,001 0,152

(0,868) (0,935) (0,962) (0,948) (0,680) (0,912) (0,997)

Nota. Λ λ λ λ λ λ λ λ λ= , ,

00 1 11 1 2 14 15 1 6

[ ]

=

[ ]

, , , , ,

, , , , . Los valores P se encuentran entre paréntesis y corresponden a

los de una prueba t para cada coeficiente. En negrita se presentan los coeficientes significativos al 10%,

X1, X2 y X3 representan el nivel, pendiente y curvatura de la curva de rendimiento cero cupón nominal,

respectivamente; X4 y X5, representan los 2 primeros componentes principales obtenidos de los residuales

de los rendimientos de los TES en UVR sobre X1, X2, X3 y factor de liquidez, respectivamente. Por último, X6

representa el factor de liquidez.

Fuente: elaboración propia.

En el caso de los parámetros del segundo factor (X2), este se ve afectado úni-

camente por movimientos en los precios del riesgo reales y el factor de liqui-

dez, esto sugiere que los rendimientos de los TES en pesos se ven afectados

ante cambios en el mercado de UVR. Para la curvatura de los bonos nomina-

les (X3) se encuentra que tanto el coeficiente asociado a su propio factor (1,3)

como el del segundo componente de los rendimientos reales y el factor de

liquidez son significativos, lo cual sugiere que el mercado de TES nominales

puede no ser demasiado profundo, siendo susceptible a movimientos en otros

mercados y a una compensación por liquidez propia de estos. Finalmente, se

observa que de forma individual los precios del riesgo asociados a los factores

reales solo responden ante cambios en sus propios factores y su liquidez. En

particular, es de notar que, debido a que estos factores son ortogonalizados

a partir de los bonos nominales, el segundo factor no depende de la liquidez,



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lo que implica que para este caso particular los precios del riesgo asociados

a este factor solo responden a los movimientos del mercado de TES en UVR.

Posteriormente, se estiman las recursiones descritas en las ecuaciones (8), (9),

(18) y (19) con el objetivo de desagregar las tasas de rendimiento nominal,

real y BEI en sus tres componentes: tasas de riesgo neutral, prima por término

o de riesgo y prima de liquidez, los cuales son presentados y analizados en la

siguiente sección.

C. Descomposiciones de las tasas

En la figura 1 se presenta la descomposición de los rendimientos nominales

y reales: prima por vencimiento, rendimiento de riesgo neutral y componente

de liquidez22.

En general, los resultados son los esperados. En línea con los hallazgos de

Espinosa-Torres, Melo-Velandía y Moreno-Gutiérrez et al. (2014), en la des-

composición de los bonos nominales y reales se pueden observar tres hechos

relevantes: en primer lugar, se observa que a medida que aumenta el plazo,

la prima por término es mayor y más volátil. En segundo lugar, se encuentra

que a medida que el plazo es menor, el rendimiento de riesgo neutral explica

la mayor parte del movimiento de las tasas de interés de los títulos nomina-

les y reales, lo cual puede asociarse a la transmisión de política monetaria

(Becerra y Melo, 2009; Cochrane y Piazzesi, 2008). En tercer lugar, se observa

que la prima por vencimiento es decreciente para los dos tipos de títulos, esto

puede ser explicado por la mayor profundización del mercado de títulos del

Gobierno, las mejores condiciones macroeconómicas, el otorgamiento del grado

de inversión por parte de las calificadoras de riesgo y las amplias condiciones de

liquidez a escala internacional.

Además, se puede observar que las primas por vencimiento y, en algunos casos,

los componentes de liquidez incorporan eventos de estrés financiero. El caso

más evidente es aquel evento en el que se registró una fuerte sustitución de

22 Es importante notar que se realizaron varios ejercicios de robustez. Primero, se estimó el modelo con

datos mensuales promedio (y no fin de). Segundo, se estimó el modelo con k = [42] y k = [41] factores

nominales y reales, respectivamente. Las descomposiciones obtenidas en estos ejercicios son aproxi-

madamente similares a las presentadas en las figuras 1 y 2. Estos resultados no se presentan en este

documento; sin embargo, se encuentran a disposición de los interesados.

 337

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títulos de deuda del Gobierno por cartera por parte de bancos locales entre

febrero y julio del 2006, momento en el cual se observan movimientos impor-

tantes tanto en la prima por vencimiento como del componente de liquidez.

Otros eventos relevantes que particularmente se observan en la prima por ven-

cimiento (Espinosa-Torres et al., 2014), son la crisis financiera internacional

Figura 1. Descomposiciones de los TES en pesos y UVR para vencimientos a 2 (superior),

5 (medio) y 8 (inferior) años

Rend. nominal 2 años Prima por término

Rend. neutral Comp. liq

Rend. nominal 2 años Prima por término

Rend. neutral Comp. liq

12

10

8

6

4

2

0

-2

jun-04

ene-05

ago-05

mar-06

oct-06

may-07

dic-07

jul-08

feb-09

sep-09

abr-10

nov-10

jun-11

ene-12

ago-12

mar-13

oct-13

may-14

dic-14

12

10

8

6

4

2

0

-2

jun-04

ene-05

ago-05

mar-06

oct-06

may-07

dic-07

jul-08

feb-09

sep-09

abr-10

nov-10

jun-11

ene-12

ago-12

mar-13

oct-13

may-14

dic-14



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(septiembre-octubre del 2008) y su transmisión a economías emergentes

(enero-agosto del 2009), y el anuncio por parte de la Fed de un posible inicio

del tapering (mayo-julio del 2013).

Figura 1a. Descomposiciones de los TES en pesos y UVR para vencimientos a 2 (supe-

rior), 5 (medio) y 8 (inferior) años

Rend. nominal 5 años Prima por término

Rend. neutral Comp. liq

Rend. nominal 5 años Prima por término

Rend. neutral Comp. liq

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

jun-04

ene-05

ago-05

mar-06

oct-06

may-07

dic-07

jul-08

feb-09

sep-09

abr-10

nov-10

jun-11

ene-12

ago-12

mar-13

oct-13

may-14

dic-14

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

jun-04

ene-05

ago-05

mar-06

oct-06

may-07

dic-07

jul-08

feb-09

sep-09

abr-10

nov-10

jun-11

ene-12

ago-12

mar-13

oct-13

may-14

dic-14

 339

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En la figura 2 se puede observar la descomposición del BEI en expectati-

vas de inflación, prima de riesgo inflacionario y componente de liquidez. En

cuanto a las expectativas de inflación, se observa que a medida que aumenta

el plazo esta es menos volátil y en términos generales ha venido disminu-

yendo en el tiempo, lo que hace evidente la existencia de credibilidad en el

Figura 1b. Descomposiciones de los TES en pesos y UVR para vencimientos a 2 (superior),

5 (medio) y 8 (inferior) años

Rend. nominal 8 años Prima por término

Rend. neutral Comp. liq

Rend. nominal 8 años Prima por término

Rend. neutral Comp. liq

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

jun-04

ene-05

ago-05

mar-06

oct-06

may-07

dic-07

jul-08

feb-09

sep-09

abr-10

nov-10

jun-11

ene-12

ago-12

mar-13

oct-13

may-14

dic-14

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

jun-04

ene-05

ago-05

mar-06

oct-06

may-07

dic-07

jul-08

feb-09

sep-09

abr-10

nov-10

jun-11

ene-12

ago-12

mar-13

oct-13

may-14

dic-14

Fuente: elaboración propia.



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Banco de la República y su meta de inflación. En línea con esto, se aprecia

que, posterior a la crisis, las expectativas se han mantenido dentro del rango

meta del Banco de la República para los diferentes plazos. Este hecho tam-

bién es soportado por el valor estimado, mediante el modelo de la inflación

de largo plazo (3,2%).

Por otra parte, los resultados obtenidos indican que a medida que aumenta el

plazo la prima de riesgo inflacionario es mayor, lo cual es acorde con la litera-

tura pertinente, ya que presenta evidencia asociada frecuentemente a la hipó-

tesis de expectativas (Gürkaynak, Sack y Wright, 2010; Haubrich, Pennacchi y

Ritchken, 2012; Hördahl y Tristani, 2012).

De acuerdo con lo anterior se puede observar que la prima de riesgo inflacio-

nario para 2 años es baja, lo que permite inferir que el BEI para este plazo es

una medida relativamente apropiada de las expectativas de inflación. Además,

se encuentra que para plazos superiores, la prima de riesgo inflacionario ha

disminuido en el tiempo, lo que en parte puede obedecer al aumento de la

confianza en la política monetaria por parte de los agentes, particularmente

luego de que en octubre del 2009 se estableciera la meta de inflación en

3%. Como resultado específico, se puede apreciar que a partir de junio del

2011 esta prima ha sido negativa y actualmente es cercana a 0 para venci-

mientos a 5 y 8 años. Este último punto puede obedecer a un mayor apetito

y menor riesgo asociado a los TES en pesos debido a la importante caída de

la prima por vencimiento de estos títulos ante las mejores condiciones de

mercado mencionadas y que recaen principalmente sobre estos (por ejemplo,

la mayor entrada de extranjeros se registró en el mercado de TES en pesos).

Por último, dentro de los resultados se encontró que el componente de liqui-

dez es muy pequeño en la mayoría de los períodos analizados. Sin embargo,

es posible observar que dicho componente toma valores mayores para ciertos

eventos como el asociado a la sustitución de los títulos del mercado de deuda

pública en el 2006 por parte de los bancos, evento que generó fuertes presio-

nes de liquidez sobre el mercado, particularmente el de UVR.

 341

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Figura 2. Descomposiciones del break-even inflation (BEI) para vencimientos a 2

(izquierda), 5 (derecha) y 8 (inferior) años

BEI 2 años Prima de riesgo inflacionario

E{Inflación} Comp. liq

BEI 5 años Prima de riesgo inflacionario

E{Inflación} Comp. liq

6

5

4

3

2

1

0

-1

jun-04

ene-05

ago-05

mar-06

oct-06

may-07

dic-07

jul-08

feb-09

sep-09

abr-10

nov-10

jun-11

ene-12

ago-12

mar-13

oct-13

may-14

dic-14

6

5

4

3

2

1

0

-1

jun-04

ene-05

ago-05

mar-06

oct-06

may-07

dic-07

jul-08

feb-09

sep-09

abr-10

nov-10

jun-11

ene-12

ago-12

mar-13

oct-13

may-14

dic-14

BEI 8 años Prima de riesgo inflacionario

E{Inflación} Comp. liq

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

jun-04

ene-05

ago-05

mar-06

oct-06

may-07

dic-07

jul-08

feb-09

sep-09

abr-10

nov-10

jun-11

ene-12

ago-12

mar-13

oct-13

may-14

dic-14



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III. Comentarios finales

En el presente documento se estima y descompone el BEI asociado a los bonos

del Gobierno colombiano. Lo anterior se realiza mediante la metodología pro-

puesta por AACM, la cual permite controlar por un componente de liquidez

relativo entre los bonos nominales y reales.

En términos generales, se puede observar que los resultados para Colombia

son acordes a lo esperado. Para el caso de las tasas nominales se encuentran

rendimientos de riesgo neutral y prima por término similares a las halladas

por Espinosa-Torres et al. (2014). En general, se encuentra que la aproxima-

ción afín valora de forma precisa ambos tipos de rendimientos, lo cual sugiere

que la descomposición del BEI es adecuada. Los resultados de esta descom-

posición muestran evidencia para concluir que los agentes del mercado han

incrementado la credibilidad en el Banco de la República y su meta de infla-

ción con el paso de los años.

Por otro lado, los resultados sugieren que el BEI es una medida relativamente

apropiada de las expectativas de inflación en el corto plazo (2 años). Además,

estos sugieren que los efectos de liquidez son cercanos a 0 para casi todo el

período muestral analizado (independiente del vencimiento), salvo por algu-

nos eventos como el del primer semestre del 2006, en el cual se observa una

prima de liquidez mayor.

Finalmente, es de notar que la estimación y descomposición del BEI puede ser

un insumo importante para el seguimiento y análisis de las expectativas de

inflación por parte del banco central y los analistas financieros. Por tal motivo,

cobra relevancia desarrollar estudios futuros referentes a la transmisión de

la política monetaria, la relación de los componentes del BEI con variables

macroeconómicas y el pronóstico de la inflación.

Agradecimientos

Agradecemos al Banco de la República por proporcionar los datos necesarios

para realizar el estudio y a los dos árbitros por sus comentarios, los cuales

fueron de gran ayuda para mejorar el contenido del artículo.

 343

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346

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348

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Apéndice A. Liquidez relativa de los bonos del Gobierno

colombiano denominados en pesos y en UVR

En la figura 3, es posible observar varios indicadores que permiten obtener una

noción de la liquidez de los TES UVR relativa a la de los TES en pesos.

Figura 3. Liquidez relativa de los TES en pesos y UVR

Plazo máximo UVR (eje izq) Plazo mínimo UVR (eje izq)

monto UVR / pesos (eje der)

Número de títulos pesos (eje izq)

Número de títulos UVR (eje izq)

16

14

12

10

8

6

4

2

0

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%

jun-04

nov-04

abr-05

sep-05

feb-06

jul-06

dic-06

may-07

cot-07

mar-08

ago-08

ene-09

jun-09

nov-09

abr-10

sep-10

feb-11

jul-11

dic-11

may-12

oct-12

mar-13

ago-13

ene-14

jun-14

nov-14

abr-15

Años y número de títulos

Fuente: cálculo de los autores a partir de información de los mercados SEN y MEC.

En primer lugar, las barras negras muestran el monto promedio mensual de

negociaciones de TES UVR respecto al de los TES en pesos. Entre junio del 2004

y junio del 2015, en promedio los montos negociados de UVR han represen-

tado el 3,7% de los montos negociados de TES en pesos23, lo cual muestra

que en términos relativos los montos de negociación en el mercado de UVR

23 Esta relación ha alcanzado un máximo mensual durante el período analizado del 17,1% y un mínimo

del 0,4%.

 349

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son bajos y no son representativos respecto al total del mercado de bonos del

Gobierno colombiano.

En segundo lugar, las líneas punteadas (UVR) y de rayas (pesos) representan el

número de títulos que en promedio se negociaron diariamente durante cada

mes. Como se puede observar la cantidad de títulos negociados de TES en

pesos es considerablemente mayor a la de los títulos denominados en UVR.

En promedio el número de bonos UVR negociados a lo largo de la muestra fue

de 4,3 títulos, mientras que el de pesos se ubica en 11,8324.

Finalmente, el área gris representa los plazos de los TES UVR con los que en

promedio cuenta el mercado por mes. Como se puede observar durante perío-

dos considerables de tiempo, no se ha contado con plazos superiores a 8 años

(incluso 6 años) ni con plazos inferiores a uno (incluso 2 años). Lo anterior

refleja la falta de oferta de títulos para ciertos vencimientos.

Apéndice B. Ecuaciones con la existencia

de efectos de liquidez

A continuación se presentan las ecuaciones del modelo para los bonos nomi-

nales incluyendo el factor de liquidez Lt. Es de notar que el procedimiento es

el mismo para los bonos indexados por inflación.

La relación afín del sistema expandido para los bonos nominales viene dada

por la siguiente expresión:

In Pt

n

n n t nL t

A B X B L

( )

=+ +

′

, (34)

Reescribiendo esta relación de forma compacta, se obtiene:

In P A B X

t

n

n n t

L

( )

=+′

∗ (35)

donde B B B B

n n n K K nL

n R

∗

+

′= …

, , ,

1









, X X L

t

L

t t

=

[ ]

^ .

24 Máximo número de títulos UVR negociados (pesos): 9,25 (14,9), mínimo número de títulos UVR nego-

ciados (pesos): 1,9 (8,26).



350

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Imponiendo condiciones de no arbitraje, es posible reescribir esta relación

de forma iterativa a través del sistema de ecuaciones (8) y (9) expandido por

liquidez:

~ (36)

B B

n n

∗′

−

∗′ φ− δ ′=1 1



(37)

B A

Kx0 1 0

0 0

∗′ ′

= =, (38)

En particular, el rendimiento nominal yt

n

( )

estimado puede escribirse de la

siguiente forma:

ynA B X

t

n

n n t

L

  

( )

=









− + ∗′

1 (39)

Por tanto, para descomponer este rendimiento estimado se imponen las res-

tricciones Bn L,=0 y Bn L

RN

.=0, lo cual permite calcular el rendimiento nominal

estimado yt

n LA



( )

, y de riesgo neutral yt

n RN LA



( )

, , ajustados por liquidez. Enton-

ces, la prima por término ajustada por liquidez se calcula como la diferencia

entre estas dos variables.

Por último, la prima de liquidez, t

n

( )

, se calcula como se indicó en la sección

I.E. Entonces, el rendimiento nominal observado se compone de la siguiente

manera:

y y

t

n

t

n RN LA

t

n LA

t

n

 

( ) ( ) ( ) ( )

+ +ψ + ξ

, , , (40)

donde ψ−

t

n LA

t

n LA

t

n RN LA

y y

( ) ( ) ( )

=

,, , ,

  denota la prima por término nominal ajustada

por liquidez.

En el caso de los bonos indexados por inflación el procedimiento abordado

es similar, de forma que las medidas del BEI se obtienen de igual manera a lo

explicado en la sección I.D teniendo en cuenta esta modificación.

 351

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Apéndice C. Derivación de las matrices

de varianza covarianza

En este apéndice se resume la derivación realizada por AACM para las matri-

ces de varianza-covarianza νλ λ λ

0 0 1

,,

C y νλ1, especificadas en la ecuación (35).

Sean 



ols, A B



ɶ



0,ols ols

=−φy

B



ols los estimadores de una regresión MCO particio-

nada de la ecuación (30). Además, definiendo A A B

 

⋮



ols ols ols

=









0, , y realizando

la partición de la matriz de varianza covarianza con la siguiente expresión:

υυ

υ

α

α α

α

′

, ,

, , ,

A ols

ols A ols

A ols Aols

=











C

Los autores demuestran que

~

, donde

ν ν

% % %

φ φ φ

′

=H H

A ols, y:

( )

1

1 1

K

I

−

− −

 

′

= − − ⊗ ∑ ∑

 

%

M$

φ

φH' '

e e

B B B $

.

Dado que Xt sigue un proceso VAR, con los supuestos convencionales se cum-

ple que:

T N

d

ols

vec

µ− µ

φ− φ

νµ,φ,



( )













 →

()

0,

donde

ν ν

ν

µ,φ,

µ µ,φ,

µ,φ,

′

φ

ols

ols ols

=











,

C

C

=





plim /

/ /

T

t

t t

T

T T

→∞

′

ι ′_

_ι _ ′_ι

1X

X X X























−

⊗ Σ

1

lo cual implica que T N

d

vec λ−λνλ1 1 01



( )

 →

( )

, con

1

,ols

=

λφ φ

ν ν +ν

~.

Mediante un procedimiento similar se encuentra la matriz de varianza para 0.

Se define X X X=′ ′

[ ]

′

M_, m n, como la matriz de conmutación de orden mn  mn

tal que para una matriz Amn se cumple que vec vecA A

m n

′κ

( )

=

( )

,,

A

B

como la



352

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matriz particionada diagonal NK  N con Bi como la iésima entrada de la diago-

nal, CB=

( ) ( )

( )

vec vecB B B B

N N1 1

′ ′ ′

…, , , 

1 como un vector (K + 1)1 cuyo primer

elemento es igual a 1 y el resto son iguales a 0, y las siguientes expresiones:

Ω′Ω′_

Ω

→∞

−

ι →∞

−

ι

= =

=

plim plim

pli

T T

1

2

c c cM M

X

mm plim

T T T T

T T

→∞

−

→∞

−

ι Ω ι

1 1

c 3 =X_ (41)

donde Mι

−

− ′ ′=

( )

ITc cc c

1; entonces, se cumple que

T N

gls

d

vec µ− µ µ





ɶɶ

( )

 →

()

0, ν con:

ν ν ν

µµ,α α µ α µ µ µ α



ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

=′+′+H H H H H H

, , , , , , , ,ols A A ols A lpha A ols

Cµµ

µ,α α µ µ

,

, , , ,

′

( )

+′

( )

′+

A

A ols A

H H H

ɶ ɶ ɶ

CΣΣ µ Σ

Σ ΣIKK K

2+

( )

⊗

( )

′

κ, ,

Hɶ

donde:

HµαΣ Σ



 

, ´ ´=

( )

−−−

B B B

e e

111

HµµΣ Σ Η ρ Σ Σ



   

,´ ´ ´ ´

Ae e Be e A=−⊗

( )

+ ⊗

( )

−−− − −−

B B B B B B B

111

1

111′′ ⊗

( )

IN B

ΣH

+

( )

−−−

B B B´ ´Σ Σ α

 

e e

111H

HµΣ=−ρ Σ Σ



 

,

'

´ ´

1

21

111

⊗

( )

−−−

B B B CB

e e

H H H

α Ζ 2 3 φ

Ω φ Ω Ω=

( )

′⊗

( )

− −







( )

′⊗

()

+′⊗

( )

− −

T I T I I

N K N B

1 1



⋮



B

H

B K K K N

I I I I=−





−





′









−





⊗

−

φΩ φ φ Ω



⋮



⋮



⋮

1

− −





−





′









−





−

−

φ Ω φ φ Ω φ

1



⋮



⋮



⋮ ⋮



I I I I

K K K K

1

′′









⊗

( )

−−−

B B B B´ ´Σ Σ

 

e e

111

Entonces, T N

d

vec λ−λνλ0 0 00



( )

 →

( )

, con ν ν + ν

λµµ

0=



,ols. Por último, la

covarianza asintótica entre T

0 y T



1

viene dada por la expresión:

C C C

λ λ µααφ µ φ µ φ

0 1 ν,,,,, , , ,

= + +H H H H



Aols A ols A ols ols .

 353

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Apéndice D. Estimación de los parámetros 0 y 1

En este apéndice se muestra en detalle la función g n t

i

 

0 1

, ; ,

( )

utilizada para

estimar los parámetros 0 y 

1

. Esta describe los rendimientos indexados por

inflación como funciones cuasicuadráticas de 0 y 

1

y permite encontrar sus

estimadores mediante la minimización de una suma cuadrática de residuales.

Partiendo de la definición de los rendimientos indexados por inflación, se

tiene que y

n

A B X

t R

n

n R n R t, , ,

( )

=

( )

− + ′

1. Reemplazando (18) y (19) en la anterior

expresión se puede mostrar que yt R

n

,

( )

puede escribirse de la siguiente manera:

~

Nótese que 1 aparece asociado a un término lineal y uno cuadrático, mien-

tras que 0 se encuentra asociado de forma lineal con yt R

n

,

( )

sin depender del

vencimiento, lo cual permite interpretarla como la inflación de largo plazo

del modelo.

Por tanto, es posible estimar 0 y 1 resolviendo el siguiente problema de

optimización:

π π Σ Σ − π π

′

π ,π

 

0 1 1 1 0 1

2

0 1









=

( )

= =

( )

argmin , ; ,

i

N

t

T

t

n

i

Ry g n t

Es de notar que este problema es equivalente a minimizar la suma de residuales

cuadrática  

i

N

t

T

t R

n

Ru

= =

( )

1 1

2

,,

u y

y

t R

n

t R

n

t R

n

, , ,

( ) ( ) ( )

=, t T

=

12, , ,, n NR

=12, , , obte-

nida a partir del cálculo del proceso iterativo para los rendimientos indexados

por inflación descrito en las ecuaciones (18) y (19) sobre estos parámetros.



354

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Por simplicidad en los cálculos se estiman los parámetros a través de la segunda

representación, tomando como valor inicial los estimadores de una regresión

MCO de la inflación sobre una constante y Xt

L, siguiendo la forma afín pre-

sentada en la ecuación (16).

Apéndice E. Estadísticas descriptivas de los residuales

para las recursiones y los excesos de retorno

En este apéndice se presentan algunas estadísticas descriptivas de los erro-

res de valoración para los rendimientos nominales u y y

t

n

t

n

t

n

 

( ) ( ) ( )

=

()

, reales

u Y Y

t R

n

t R

nt R

n

 

,,,

( ) ( ) ( )

=

()

 y para el BEI u BEI BEI

t

n

t

nt

n

ɵ



,π−

( ) ( ) ( )

=













, así como los errores de

valoración de los excesos de retorno para ambos tipos de rendimiento, respec-

tivamente e rx rx e rx r

t

n

t

nt

n

t

n

t R

n

ɵ



+

−

+

−+

−

+

−

+

−

− −

1

11

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= =,,xxt R

n



+

−

1

,

( )













.

Cuadro 2. Estadísticas descriptivas de ut

n

( ) y et

n

( ) para los TES en pesos

n

= 24

n

= 36

n

= 48

n

= 60

n

= 72

n

= 84

n

= 96

Errores del rendimiento

Media 0,028 0,026 0,014 0,002 -0,002 0,004 0,023

Desviación estándar 0,025 0,014 0,018 0,023 0,020 0,016 0,030

Asimetría -0,116 0,167 -0,368 -0,040 0,265 0,651 0,503

Curtosis 0,102 -0,126 1,348 0,341 -0,145 0,429 0,416

Errores del retorno

Media 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Desviación estándar 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,000 0,002

Asimetría 0,133 -1,147 -0,279 -0,102 -0,095 0,090 0,310

Curtosis 2,601 7,077 3,622 3,864 5,149 2,359 4,114

ut

n

( ) representa la diferencia entre rendimientos nominales observados y estimados en la recursión. Por otra

parte, et

n



( ) representa el residual entre los excesos de retorno nominales observados y estimados.

Fuente: cálculo de los autores.

 355

DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 315-365, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.8

Cuadro 3. Estadísticas descriptivas de ut R

n

,

( ) y et R

n

,

( ) para los TES en UVR

n

= 24

n

= 36

n

= 48

n

= 60

n

= 72

n

= 84

n

= 96

Errores del rendimiento

Media -0,028 0,010 0,004 -0,007 -0,009 0.001 0,022

Desviación estándar 0,127 0,038 0,034 0,032 0,028 0,037 0,058

Asimetría -0,581 -0,475 0,381 0,295 0,382 0,188 0,202

Curtosis 0,468 0,165 0,283 -0,321 0,718 -0,483 -0,474

Errores del retorno

Media -0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Desviación estándar 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,004

Asimetría -0,051 0,032 0,130 0,118 0,056 -0,051 -0,199

Curtosis 0,117 -0,037 -0,269 -0,191 0,077 0,049 1,498

ut R

n

,

( ) representa la diferencia entre rendimientos reales observados y estimados en la recursión. Por otra

parte, et R

n

,

( ) representa el residual entre los excesos de retorno reales observados y estimados.

Fuente: cálculo de los autores.

Cuadro 4. Estadísticas descriptivas de

u

t

n



,

( )

p para el BEI

n = 24 n = 36 n = 48 n = 60 n = 72 n = 84 n = 96

Errores del BEI

Media 0,085 0,038 0,029 0,027 0,022 0,012 -0,002

Desviación Estándar 0,153 0,049 0,036 0,032 0,023 0,031 0,058

Asimetría 0,697 1,093 0,120 0,204 -0,197 0,666 -0,254

Curtosis 0,375 1,393 -0,060 0,332 -0,361 0,419 1,081

ut

n

,

( )

p representa la diferencia entre el BEI observado y estimado a partir de las anteriores medidas.

Fuente: cálculo de los autores.

Apéndice F. Ajuste de los rendimientos

y el

break-even inflation

F.1. Rendimientos de los TES en pesos y UVR

A continuación se presentan las figuras correspondientes a los rendimientos

nominales e indexados por inflación observados y estimados, con vencimien-

tos de 2, 5 y 8 años.



356

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Figura 4. Rendimientos observados y estimados de los TES en pesos y UVR para

vencimientos a 2 (superior), 5 (medio) y 8 (inferior) años

Rendimiento nominal 5 años Rendimiento nominal estimado

Rendimiento real 2 años Rendimiento real estimado

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

jun-04

feb-05

oct-05

jun-06

feb-07

oct-07

jun-08

feb-09

oct-09

jun-10

feb-11

oct-11

jun-12

feb-13

oct-13

jun-14

feb-15

jun-04

feb-05

oct-05

jun-06

feb-07

oct-07

jun-08

feb-09

oct-09

jun-10

feb-11

oct-11

jun-12

feb-13

oct-13

jun-14

feb-15

6

5

4

3

2

1

0

Rendimiento nominal 5 años Rendimiento nominal estimado

12

10

8

6

4

jun-04

feb-05

oct-05

jun-06

feb-07

oct-07

jun-08

feb-09

oct-09

jun-10

feb-11

oct-11

jun-12

feb-13

oct-13

jun-14

feb-15

 357

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Figura 4a. Rendimientos observados y estimados de los TES en pesos y UVR para

vencimientos a 2 (superior), 5 (medio) y 8 (inferior) años

Rendimiento real 5 años Rendimiento real estimado

7

6

5

4

3

2

1

jun-04

feb-05

oct-05

jun-06

feb-07

oct-07

jun-08

feb-09

oct-09

jun-10

feb-11

oct-11

jun-12

feb-13

oct-13

jun-14

feb-15

Rendimiento nominal 8 años Rendimiento nominal estimado

Rendimiento real 8 años Rendimiento real estimado

8

7

6

5

4

3

2

1

jun-04

feb-05

oct-05

jun-06

feb-07

oct-07

jun-08

feb-09

oct-09

jun-10

feb-11

oct-11

jun-12

feb-13

oct-13

jun-14

feb-15

14

12

10

8

6

4

jun-04

feb-05

oct-05

jun-06

feb-07

oct-07

jun-08

feb-09

oct-09

jun-10

feb-11

oct-11

jun-12

feb-13

oct-13

jun-14

feb-15

Fuente: cálculo de los autores.



358

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Por último, se presenta en la figura 5 el promedio de los rendimientos de los

TES en pesos y en UVR observados y estimados por vencimiento.

Figura 5. Curva de rendimiento promedio para los TES en pesos (superior) y UVR

(inferior)

Vencimiento (meses)

Observado Estimado

9

8,5

8

7,5

7

6,5

6

5,5

5

0 20 40 60 80

4,4

4,2

4

3,8

3,6

3,4

3,2

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Vencimiento (meses)

Observado Estimado

Fuente: cálculo de los autores.

 359

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F.2.

Break-even inflation

A continuación se presentan las figuras correspondientes al BEI observado y

estimado por el modelo, con vencimientos de 2, 5 y 8 años.

Figura 6. Break-even inflation observado y estimado para vencimientos a 2 (superior),

5 (medio) y 8 (inferior) años

BEI 2 años BEI estimado

jun-04

oct-04

feb-05

jun-05

oct-05

feb-06

jun-06

oct-06

feb-07

jun-07

oct-07

feb-08

jun-08

oct-08

feb-09

jun-09

oct-09

feb-10

jun-10

oct-10

feb-11

jun-11

oct-11

feb-12

jun-12

oct-12

feb-13

jun-13

oct-13

feb-14

jun-14

oct-14

feb-15

6

5

4

3

2

1

jun-04

nov-04

abr-05

sep-05

feb-05

jul-06

dic-06

may-07

oct-07

mar-08

8go-07

ene-09

jun-09

nov-09

abr-10

sep-10

feb-11

jul-11

dic-11

may-12

oct-12

mar-13

ago-13

ene-14

jun-14

nov-14

abr-15

6

5

4

3

2

BEI 5 años BEI estimado

jun-04

oct-04

feb-05

jun-05

oct-05

feb-06

jun-06

oct-06

feb-07

jun-07

oct-07

feb-08

jun-08

oct-08

feb-09

jun-09

oct-09

feb-10

jun-10

oct-10

feb-11

jun-11

oct-11

feb-12

jun-12

oct-12

feb-13

jun-13

oct-13

feb-14

jun-14

oct-14

feb-15

7

6

5

4

3

2

BEI 8 años BEI estimado

Fuente: cálculo de los autores.



360

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Apéndice G. Comparación entre Bgls



y

B

n

obtenido de forma iterativa

En las siguientes figuras se presenta la comparación entre los parámetros

Bn y Bn R,+π1 del modelo (ecuación (23)) con respecto a los parámetros Bn y

B

n R,+ π1 utilizados en la recursión para calcular las descomposiciones de los

bonos en ambos casos (ecuación (9) y (19) respectivamente). Estos resultados

se muestran para cada uno de los 6 factores.

Figura 7. Comparación entre

B

gls



y Bn a lo largo de la estructura a plazos para

los TES

0

-0,05

-0,1

0,15

0,2 0 20 40 60 80

Vencimiento (meses)

BnBgls

ˆ

Y Bn para el factor 1.

Bgls

ˆ

-0,05

-0,04

0,03

0,02

0,01

0

-0,01

0,02 0 20 40 60 80

Vencimiento (meses)

BnBgls

ˆ

Y Bn para el factor 2.

Bgls

ˆ

 361

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Figura 7a. Comparación entre

B

gls



y Bn a lo largo de la estructura a plazos para

los TES en pesos

0,01

0,005

0

-0,005

-0,01

-0,015

0 20 40 60 80

Vencimiento (meses)

BnBgls

ˆ

Y Bn para el factor 3.

Bgls

ˆ

Fuente: cálculo de los autores.



362

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Figura 8. Comparación entre

B

gls



y Bn a lo largo de la estructura a plazos para los

TES en UVR

Vencimiento (meses)

BnBgls

ˆ

0

-0,02

-0,04

-0,06

-0,08

0,1 0 20 40 60 80

Y Bn,R + 1 para el factor 1.

Bgls,R

ˆ

0,025

0,02

0,015

0,01

0,005

0

-0,005

-0,01

Vencimiento (meses)

BnBgls

ˆ

0 20 40 60 80

Y Bn,R + 1 para el factor 2.

Bgls,R

ˆ

Vencimiento (meses)

BnBgls

ˆ

Y Bn,R + 1 para el factor 3.

Bgls,R

ˆ

0,006

0,004

0,002

0

-0,002

-0,004

-0,006 0 20 40 60 80

 363

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Figura 8a. Comparación entre Bgls



y Bn a lo largo de la estructura a plazos para los

TES en UVR

Y Bn,R + 1 para el factor 4.

Bgls,R

ˆ

0,001

-0,004

-0,009

-0,014

-0,019

-0,024

-0,029

Vencimiento (meses)

BnBgls

ˆ

0 20 40 60 80

Y Bn,R + 1 para el factor 5.

Bgls,R

ˆ

Vencimiento (meses)

BnBgls

ˆ

0,006

0,004

0,002

0

-0,002

-0,004

-0,006

-0,008

-0,01 0 20 40 60 80

Y Bn,R + 1 para el factor 6.

Bgls,R

ˆ

0,004

0,003

0,002

0.001

0

-0,001

-0,002

-0,003

-0,004

Vencimiento (meses)

BnBgls

ˆ

0 20 40 60 80

Fuente: cálculo de los autores.



364

DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 315-365, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.8

Apéndice H. Figuras de las variables de estado

En este apéndice se presentan las 6 variables de estado obtenidas mediante

el método propuesto en la sección I.

Figura 9. Variables de estado Xt

2

1

0

-1

-2

jun-04

mar-05

dic-05

sep-06

jun-07

mar-08

dic-08

sep-09

jun-10

mar-11

dic-11

sep-12

jun-13

mar-14

dic-14

1,5

0,5

-0,5

-1,5

-2,5

jun-04

mar-05

dic-05

jun-06

feb-07

oct-07

jun-08

feb-09

oct-09

jun-10

feb-11

sep-11

jun-12

feb-13

oct-13

jun-14

feb-15

3

2

1

0

-1

-2

-3

jun-04

mar-05

dic-05

sep-06

jun-07

mar-08

dic-08

sep-09

jun-10

mar-11

dic-11

sep-12

jun-13

mar-14

dic-14

 365

DESARRO. SOC. NO. 78, BOGOTÁ, PRIMER SEMESTRE DE 2017, PP. 315-365, ISSN 0120-3584, E-ISSN 1900-7760, DOI: 10.13043/DYS.78.8

Figura 9. Variables de estado Xt

2,5

1,5

0,5

-0,5

-1,5

-2,5

-3,5

jun-04

feb-05

oct-05

jun-06

feb-07

oct-07

jun-08

feb-09

oct-09

jun-10

feb-11

oct-11

jun-12

feb-13

oct-13

jun-14

feb-15

jun-04

mar-05

dic-05

sep-06

jun-07

mar-08

dic-08

sep-09

jun-10

mar-11

dic-11

sep-12

jun-13

mar-14

dic-14

2

1

0

-1

-2

-3

jun-04

feb-05

oct-05

jun-06

feb-07

oct-07

jun-08

feb-09

oct-09

jun-10

feb-11

oct-11

jun-12

feb-13

oct-13

jun-14

feb-15

5,5

4,5

3,5

2,5

1,5

0,5

-0,5

Nota. Se presentan los factores utilizados en orden de aparición: Nivel, pendiente y curvatura de la curva

cero cupón de los TES en pesos, primer y segundo componente principal de los residuales de los rendimientos

para los TES en UVR, y factor de liquidez.

Fuente: cálculo de los autores.

Expectativas de inflación, prima de riesgo inflacionario y prima de liquidez: una descomposición del break-even inflation para los bonos del Gobierno colombiano

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Autor	Juan Andrés Espinosa-Torres, Luis Fernando Melo-Velandia, José Fernando Moreno-Gutiérrez
Páginas	315-365