Un modelo 'cuasi-Solow' y el caso de la tasa de ahorro endógena
| Autor | Carlos Esteban Posada P. |
| Páginas | 157-170 |
157
Un modelo “cuasi-Solow” y el caso de la tasa
de ahorro endógena
A Solownian Model and the Case of the
Endogenous Savings Rate
Carlos Esteban Posada P.*
Resumen
De acuerdo con Weil (2009), uno de los hechos estilizados del
cre cimiento económico internacional es una asociación positiva entre
las tasas de ahorro y los niveles de ingreso per cápita. En este documento
se propone una interpretación de tal hecho adicional a la que surge del
propio modelo de Solow, mediante uno casi similar pero ampliado con la
función de ahorro. La conclusión principal es la siguiente: un modelo
Palabras clave: Solow, tasa de ahorro, crecimiento endógeno, creci
JEL: O10, O16, O41.
* Universidad de los Andes y Universidad Nacional. Correo electrónico: carlos.posada.p@
gmail.com. Agradezco los comentarios críticos y las sugerencias de Luis Eduardo Arango
T., Daniel Mejía L. y un evaluador anónimo a una versión anterior de este documento.
Revista
Desarrollo y Sociedad
68
II semestre 2011
Un modelo “cuasi-Solow” y el caso de la tasa de ahorro endógena
158
Abstract
According to Weil (2009) one of the stylized facts of the international
per capita income levels. This paper proposes a new interpretation of
The main conclusion is this: a model of economic growth which, in
very long time.
Key words
growth.
JEL: O10, O16, O41.
Introducción
de ahorro y los niveles de ingreso per cápita1
rado con datos del Banco Mundial de una muestra de 142 países para
niveles de ingreso per cápita y las tasas nacionales de consumo, y, por
ende, una relación positiva entre ingresos per cápita y tasas de ahorro.
World Develop-
1
Carlos Esteban Posada 159
Gráfico 1. Relación media consumo/P I B (1960-2005) frente a ingreso bruto
per cápita de 1980 (en dólares ppp) 77 países
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 16.000
Ingreso nacional brutop.c.en dólares ppp
Aunque una relación positiva entre tasas de ahorro e ingresos medios
contraria: a mayor ingreso per cápita de una economía mayor será su
En lo que sigue (sección I) se presenta un modelo tipo Solow pero
diferencia de lo que propone Weil, se supone que tal relación de depen
Un modelo “cuasi-Solow” y el caso de la tasa de ahorro endógena
160
Con posterioridad a la presentación del modelo, en la sección II, se
discute la teoría implícita en el modelo de la sección I. Esto se hace
C K R ). La sección
III
de descuento y la tasa de ahorro en el marco del modelo C K R .
I. El modelo
tante e igual a 1. Además se supone que la función de producción es
yAkA=><<
. 00 1
(1)
Siendo y, A y k el producto (ingreso), el índice de productividad multi
La ley de acumulación de capital es:
ksAk ks=− << << . 0101
(2)
Siendo s y las tasas de ahorro (ahorro/producto) y depreciación,
respectivamente.
Las ecuaciones (1) y (2) son propias de las representaciones conven
modelo es la siguiente hipótesis:
sk=<<
01 0
Carlos Esteban Posada 161
Siendo y
> 0).
kAkk=−.
(4)
Por tanto, al dividir los lados izquierdo y derecho de (4) por el capital
jador:
kk
kAk
≡= −
(la elasticidad
de la tasa de ahorro al capital) es mayor o igual a un cierto valor tal que
la suma +
es
kA
=−
constante (y podrá ser positiva), independientemente del monto del
capital. Por ejemplo, si A es 1 y
el caso en el cual la suma + es igual o mayor que 1 replica las
A K de crecimiento endógeno2
2
ticidad de la tasa de ahorro al capital (cuanto mayor ) mayor será la elasticidad de la tasa
de crecimiento de la economía ante aumentos del capital. La implicación empírica de esto
parece ir de la mano con (o ser equivalente a) dos de las implicaciones del modelo de Zuleta
Un modelo “cuasi-Solow” y el caso de la tasa de ahorro endógena
162
entre la tasa de consumo (consumo/ingreso) y la tasa de crecimiento
del P I B
internacional.
Gráfico 2. Relación media consumo/PI B frente a tasa de crecimiento del PI B
real per cápita (77 países). 1960-2005
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
0,04000 0,06000 0,08000
Tasa de crecimiento delp.c.PIB
c/y
-0,06000 -0,04000 -0,02000 0,00000 0,02000
Consumo/ingreso
is zero
función de producción:
YAKBKaAB
a
=+ << >,01 0
+ = 1. Agradezco
esta aclaración a Daniel Mejía.
(Banco Mundial).
Carlos Esteban Posada 163
Pero supongamos, ahora, que el parámetro sea tan pequeño que la
suma +
que:
dk
dk Ak
=+−<⇔+<
+−
() .
101
2
(6)
cirse ante aumentos del nivel de este (y viceversa), así que es legítimo
kss), que podemos conocer haciendo 0 el
+<1
). Este es:
kA
SS =
−
1
1.
Por tanto, este caso permite predecir convergencia en los niveles de
A es igual a 1. En tal caso:
kSS =
−
1
1.
rece si = 04.
4 Nótese que el parámetro
Un modelo “cuasi-Solow” y el caso de la tasa de ahorro endógena
164
II. ¿Qué implica lo anterior a la luz del modelo
Cass-Koopmans-Ramsey?
que sigue, C K R )
. Es, por así decirlo, el patrón de comparación y
de este patrón?
Una forma de responder esta pregunta es la siguiente. Supóngase una
versión del modelo C K R
I), c)
constancia del parámetro A de la función de producción, e igual a 1 y d)
6:
kSS =
−
1
1.
Siendo
periódicas (el factor de impaciencia).
Además, la tasa de ahorro de estado estacionario (sss) de esta versión
del modelo C K R es:
sSS =
.
(9)
modelo de la sección I: tal modelo implica (implícitamente) que cuanto
) mayores son la tasa de
6
C K R
Carlos Esteban Posada 165
C K R ,
la utilidad o grado de impaciencia de los consumidores. A su vez, la
causa podría ser, por ejemplo, los aumentos del factor A o producti
vidad multifactorial que, supuestamente, generan decrecientes grados
de impaciencia de las familias como, por ejemplo, pero de particular
.
versión del modelo C K R
descuento es endógena. En dicho modelo la tasa de descuento puede
depender positivamente de la riqueza, el caso contrario al del modelo
de la sección I
III. Resumen y conclusión
De acuerdo con Weil (2009), uno de los hechos estilizados del creci
miento económico es una asociación positiva entre las tasas de ahorro
economías del mundo. En este documento se propone una interpreta
ción de tal hecho mediante un modelo tipo Solow, pero ampliado con
el caso generado por el modelo estándar de Solow, el del crecimiento
Un modelo “cuasi-Solow” y el caso de la tasa de ahorro endógena
166
un parámetro de la función de ahorro.
modelo C K R
la utilidad que fuese decayendo con los aumentos del capital
persistente de la productividad multifactorial.
La conclusión principal es la siguiente: un modelo de crecimiento
la sección I
de crecimiento económico.
Referencias
1. , P. y P. (2009). .
M I T Press.
2. SALA.
4.
MEJÍA , D. y POSADA
OBSTFELD6. , M. y -
. The M I T Press.
Carlos Esteban Posada 167
SALA , X. (2000).
(2ª ed.). Barcelona, Antoni Bosch editor.
WEIL9. , D. (2009).
Wesley.
ZULETA10.
, 11, 4.
Un modelo “cuasi-Solow” y el caso de la tasa de ahorro endógena
168
Anexos
Anexo 1. La regla de oro en los modelos de
Solow y “cuasi-Solow”
En el modelo de Solow (ecuaciones 1 y 2 con tasa de ahorro, s,
A = 1) es:
kS
ss =
−
1
1.
(A.1)
A = 1):
kss oro =
−
1
1.
(A.2)
el consumo per cápita) la tasa de ahorro sería igual a la elasticidad del
producto al capital, 9.
es menor que 1) el
cumplimiento de la regla de oro implicaría (de nuevo, para A = 1, y < 1)
=
−−
1
1
1
1.
9
y ss., y 29 y ss.).
Carlos Esteban Posada 169
Por tanto:
oro =
−
−
1
1.
La implicación de esto se hace clara con un ejemplo. Supongamos los
siguientes valores para estos parámetros: = 0,2. En
la tasa de ahorro,
sociedad es relativamente fácil alcanzar tal nivel para el componente
autónomo de su tasa de ahorro, entonces se podría decir que para tal
misma sociedad con el modelo de Solow, podría decirse que parecería
más difícil para tal sociedad cumplir con la regla de oro (que su tasa
de ahorro sea igual a
Anexo 2. Un ejemplo de la relación entre tasas de descuento y
ahorro, y montos de capital en el modelo C K R
Si suponemos valores convencionales para los parámetros de las ecua
y suponemos un cierto rango de variación para la tasa de descuento,
por ejemplo, = [0,09 – 0,02], entonces podemos generar las series de
capital y tasa de ahorro que resultarían de una reducción paulatina
ejercicio.
Un modelo “cuasi-Solow” y el caso de la tasa de ahorro endógena
170
Gráfico A1. Capital (K) y tasa de ahorro (s) en el modelo CK R ante diferentes
tasas de descuento
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0
2
4
6
8
10
12
14
0,09
0,088
0,086
0,084
0,082
0,08
0,078
0,076
0,074
0,072
0,07
0,068
0,066
0,064
0,062
0,06
0,058
0,056
0,054
0,052
0,05
0,048
0,046
0,044
0,042
0,04
0,038
0,036
0,034
0,032
0,03
0,028
0,026
0,024
0,022
0,02
Capital
ks
Si suponemos, a partir de este ejercicio, que la relación entre la tasa
de ahorro y el monto del capital es la representada por la ecuación
Por tanto, la suma de los parámetros y es, en este ejemplo, igual
miento económico permanente, y el modelo C K R
descuento se mantenga cayendo.
