Apéndice D. Modelo de regresión lineal
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APÉNDICE D
Modelo de regresión lineal
Una técnica muy empleada en las finanzas y la economía para determinar la relación entre
varias variables y para proveer predicciones (entre ellas la volatilidad o el precio de un activo)
es el método de regresión. Este método estadístico supone la existencia de una o más variables
(regresores) que determinan el comportamiento de una variable. Esta técnica intenta dilucidar
a partir de una muestra una posible relación que pueda existir entre las variables empleando
típicamente el supuesto de una relación lineal.
En los dos apéndices estadísticos anteriores se discutió una medida de relación lineal entre
dos o más variables aleatorias (la correlación); a continuación se amplía esa noción de relación
lineal a más de dos variables. En las siguientes secciones se discutirá inicialmente el modelo
de regresión simple que relaciona una variable “dependiente” con otra variable “explicativa” y
posteriormente el modelo de regresión múltiple que permite más de una variable explicativa.
D.1. Regresión simple
Consideremos el caso en que se desea determinar la relación entre dos variables. La relación
más simple que se puede considerar entre dos variables yyxes una relación lineal
y=β1+β2x. (D.1)
Esta relación corresponde a una línea recta de la popular forma y=b+mx. Gráficamente,
esta relación corresponde a una línea recta cuyo intercepto está dado por β1y la pendiente
por β2(ver Figura D.1).
Nótese que la relación lineal descrita por la ecuación D.1 implica una relación exacta.
Es decir, para cada valor de la variable independiente tendremos un valor de la variable
dependiente. En la práctica, se reconoce que la relación entre la variable independiente y la
dependiente no tiene por qué ser exacta y se incluye un término aleatorio de error en los
modelos que describen la conexión entre ellas. En otras palabras, se reconoce la posibilidad
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APÉNDICE D. MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
Figura D.1: Representación gráfica de una relación lineal
β2
β1
xt
yt
Panel A
β2
β1
xt
yt
Panel B
de que la relación entre las dos variables no sea exacta:
yt=β1+β2xt+εt,(D.2)
para todo t=1,2, ...T y donde εtcorresponde a una variable aleatoria que representa el
término de error del modelo. Con la inclusión de este error ya no contamos con un modelo
exacto (matemático) y por tanto entramos en el mundo de la estadística. Ahora ydependerá
de una variable aleatoria y, por tanto, también será una variable aleatoria.
En el panel A de la Figura D.1 observamos una recta con pendiente positiva, lo cual implica
que a medida que la variable independiente (x) aumenta, la variable dependiente (y)también
aumenta. Es más, la pendiente β2es la magnitud del aumento de la variable dependiente
cuando la variable independiente aumenta en una unidad. Además, β1representa la parte
de la variable dependiente que no depende del valor de x.Porotrolado,enelpanelBse
encuentra una recta con pendiente negativa, lo cual implica una relación inversa entre yyx.
Ejemplo D.1 Relación lineal entre el rendimiento de un activo y el índice de mercado
Por ejemplo, la teoría financiera sugiere una relación lineal entre el rendimiento de un activo
ien el periodo t,Ri,t, y el rendimiento en el mismo periodo del índice del mercado al que
corresponde el activo RM,t (ver Capítulo 3), pues el retorno de cada activo individual está
influido en parte por el entorno general del negocio (recogido en el índice del mercado corres-
pondiente) y en otra proporción por el entorno de la empresa en particular. Así, tendremos
que el rendimiento del activo ien particular se puede expresar como:
RM,t =β1+β2RM,t +εt.
Se espera una relación lineal y positiva, por ejemplo, entre el rendimiento de una acción en
el mercado bursátil colombiano y el IGBC. Gráficamente, esta relación corresponderá a una
como la descrita en el panel A de la Figura D.1.
Un aspecto importante en los modelos estadísticos lineales es la presencia de un término
de error. La inclusión de este término de error se justifica de diferentes formas; por ejemplo:
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