Flujos de Caja Aleatorios y Modelos Probabilísticos
| Autor | Evaristo Diz Cruz |
| Páginas | 101-106 |
101
4
?,2!
pasa en la práctica, y los modelos probabilísticos o estocásticos pueden ayudar a
minimizar el riesgo.
4Y
#
no hay pago de redención.
\,@!^
El valor actual del bono es 0 con probabilidad 0,1 y 100(1,04)-1 con probabilidad
0,9. El promedio ponderado A=0,1*0+0,9*100(1,04)-1
presente más de 86.54 U.m. de lo contrario estaríamos perdiendo dinero o
sobrevalorando el bono.
EVARISTO DIZ CRUZ
102
E
P
Precio
E
P-1
4V!!!"''
No podemos dar un desarrollo completo de la teoría de la probabilidad en este
texto, pero sí discutiremos algunos de los conceptos introductorios de nuestra
notación.
P debe modelarse como una variable
P es su distribución, que viene dada por las probabilidades pR(0) + pR(100) = 1.
Lo anterior permite determinar el valor esperado de S
anteriormente, siendo S = (1 +
i
)-n P siendo S=E(P)
Probabilidad
La distribución de una variable al azar discreta R se representa
por su espacio de posibles resultados {rj : j IN} KIRrj = j) y su
f.m.p.) pR : IRpR(r) = 0
para todo r L{rj : j IN} y 1)(
"
INj
jR rp
Escribimos para A K IR
)()(
:
∑
∈∈
∈
ArINj
jR
j
rpARP
R1… Rn), reemplazamos
IR por IRn en las proposiciones de arriba y denotamos la f.m.p. con p(R1…, Rn).
ESTADÍSTICA ACTUARIAL
103
g : {rj j IN}.
∑
∈
=
INj
jrj
rPrgRgE )()())((
E(.)<
# La distribución de una variable al azar contínua R se representa
f.p.d
fR : IR
1)( =
∫
∞
∞−
drrf
R
Escribimos para A K IR
∫∫ ∞
∞−
∈
==∈ drrfdrrfARP
RAr
A
R
)(1)()(
)(
g : IRn.
∫
∞
∞−
=drrfrgRgE
R
)()())((
r
0
r
r
1
Área bajo la curva
igual a la unidad
f
(r)
R1,…, Rn), reemplace
IR por IRn y los integrales por integrales múltiples, y denote el f.p.d. con
f(R1…, Rn).
&
R
F R
F con
)),(()()( tRPtRPtF
R
3)
)(1)),(()()( tFtRPtRPtF
R
R
3
, t IR.
R y la varianza 2
R
M
de R como
)(RE
R
N
y
)))((()(
22
RERERVar
R
M
EVARISTO DIZ CRUZ
104
2
RR
MM
se llama la desviación estándar de R.
+ Las variables aleatorias (discretas o continuas) R1, …, Rn son
independientes si
P((R1,…, Rn) A1 x…x An) = P(R1!"1)…P(Rn!"n) (1)
Para todos A1, …, An K IR
contínuo).
R y S son independientes si y solo si (1) se mantiene para todo las Aj
)()(),(
),( sprpsrp srsr
)()(),(
),( Sfrfsrf SRSR
para toda r, s IR en los respectivos casos discreto y contínuo.
En IR3
F(R,S)
S
R
& Asumamos que el tiempo de vida T de un bombillo tiene una
q
P(T = n) =(1 – q)qn, n = 0, 1, … luego las variables aleatorias Bn = 1{T=n}, Bn = 1
si T=n y Bn = 0 si #0, son variables Bernoulli con parámetros (1 – q)qn. Por
supuesto, Las Bn no son independientes, ya que
P(B0 = 1, B1 = 1) = P(T = 0, TP(B0 = 1)P(B1 = 1)
ESTADÍSTICA ACTUARIAL
105
5 $
=L' Dada una secuencia de variables aleatorias independientes e
Rj)$1 con media μ = μR, se tiene
0
1
1
'
4
4
5
6
7
7
8
9
"
ON
n
j
j
R
n
P
cuando 3'n
Para todo % "
3' n
j
jn R
n
P
1
1
lim
N
, donde P – lim denota el
límite en probabilidad.
Si la varianza
22
j
R
MM
existe,
2
2
1
1
O
M
ON
n
R
n
P
n
j
j
)
4
4
5
6
7
7
8
9
"
2
R
M
es una medida de la dispersión de la distribución de R
2
R
M
= E((R - μR)2) puede leerse como la esperanza de la desviación cuadrática
4=
/
C =((T1, C1,), …, (Tn, Cn))
C1 C2
Cn
Flujos de caja
T1 T2
Tn
Cj0) es el valor esperado actualizado
))(())((
1
0j
n
j
jTCECVPE
υ
∑
=
=
Donde
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−=
∫
t
dsst
0
)(exp)(
δυ
t.
EVARISTO DIZ CRUZ
106
Tj = tj y sólo las cantidades
Cj son aleatorias, la prima viene dada por
"
P n
j
jj tCE
1
)()(
!
y sólo depende de los montos promedio o
Cj = cj y solo los tiempos
Tj son aleatorias, la prima viene dada por ))((
1
j
n
j
jTEc
!
"
P , y en el caso
de constante tenemos E(
!
(Tj))=E(exp{j})=E(
!
Tj) la cual es la llamada
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