Renta Fija y Anualidades Ciertas
| Autor | Evaristo Diz Cruz |
| Páginas | 59-64 |
59
#
7!?
Anualidades.
aquí no tienen riesgo. El tema de rentas con riesgo o rentas estocásticas, se
tratarán mas adelante.
#>!!7!?>!*;
intereses a la tasa j n,
)),(),,1(),....,,1(),,0((
0jjj CCnCnCCC +−−=
c−
j
c
Tiempo
1
n
j
cc +
EVARISTO DIZ CRUZ
60
c0
= ((0, - C), c) de los ingresos c y su precio de compra en el tiempo 0. El modelo
El valor presente o precio del bono en el tiempo t=0 viene dado por:
nt
j
t
i
c
i
c
cVP )1()1(
)( +
+
+
=∑
para todo j=1,2..... T=n.
c1 c2
c
t
+c
Tiempo
t=0 1 2 t=T
CkC j
y
t=T obviamente
a valor presente.
i
A mayor i
menor Pr ecio
Precio
Interés
3
ESTADÍSTICA ACTUARIAL
61
capital inicial de 10.000,00 U.m. aumenta a 10.200,00 U.m.10.404,00 y 10.612,08
Tiempo Capital
0 10000
1 10200
2 10404
3 10612
4 10824
Nominal: 8%
Tasas de interés
Efectiva: 8,2432%
El concepto general es como sigue.
4
IRi INp ∈
pagos por unidad de tiempo, llamamos
i
(p)
,1
)(
1i
p
p
p
i
4
4
5
6
7
7
8
9
p
p
ip
i)1)1(( 1
)(
p-veces.
i
(p)
p
en el tiempo no son los mismos.
53: Para obtenemos lim
i
(p)
##G!
Un Bono por un período n y valor Nominal N (nominal = redención) que paga
j p
EVARISTO DIZ CRUZ
62
4
4
5
6
7
7
8
94
4
5
6
7
7
8
9
4
4
5
6
7
7
8
9
4
4
5
6
7
7
8
9
4
4
5
6
7
7
8
9
NN
p
j
nN
p
j
p
nN
p
j
p
N
p
j
p
c,,,
1
,...,,
2
,,
1
El bono puede comprarse en el tiempo 0 por
)(cVPo
t
el cual en el modelo de
i
es
N
p
j
N
p
j
cVP
p
n
pn
pn
k
pkn
t
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+= ∑
=/1
/1
1
/
1
1
)(
0
υ
υ
υυυυ
#&2!
anuales de alguna cantidad constante X:
c = ((1, X), (2, X), …, (n -1, X), (n, X)).
x x x x
1 2 3 4
Pagos
Tiempo
Valores Presentes
2
)1( i
x
3
)1( i
x
)1( i
x
x
precio se puede expresar:
X
i
n
X
n
X
n
k
k
Xc
t
VP :
1
1
1
1
)(
0=
−
=
−
−
=
∑
=
=
υ
υ
υ
υυ
in
a
donde el último símbolo,
i
n
a
a
ángulo n (en
i
se ha desarrollado durante siglos.
anuales constantes:
ESTADÍSTICA ACTUARIAL
63
()
=
−+
=:
11
)( i
n
i
Xc
n
VF
n
Xs
#+5!
Las perpetuidades son anualidades que proveen pagos perpetuamente, es decir
/1/ 1/1
.,..,(),...,,2,,1 XnXXc
Entonces tenemos:
Note que el valor de una perpetuidad en tiempos discretos permanece constan-
i
Xa
ki
X
k
Xc
t
VP ∞
=
∑
∞
=== :
1
1
)(
0
υ
#/2G-
!
pago de intereses más alta. Los símbolos actuariales son:
)(/1
1
/)(
1
1
11
p
n
p
n
pn
k
pkp
n
i
pp
a
υ
υ
υυ
υ
−
=
−
−
==
∑
=
para el valor presente de los pagos 1/p pn, y
)(
)()( 1)1(
p
n
p
n
np
ni
i
as
!
para el valor acumulado en el tiempo n. Y para la perpetuidad obtendríamos:
)(1
1
1
1
1
.
1
pp
k
pkp
iv
p
v
v
p
a
"
3
3
EVARISTO DIZ CRUZ
64
Si pasamos al límite de p
a3
δ
nn
n
t
n
v
v
v
dtva −
=
−
== ∫1
)log(
1
0
n
n
n
n
nv
v
avs
1
1
n
a
Note la similitud de todas estas expresiones para las anualidades ordinarias
apropiada
i
,
i
de equivalencia para pagos de intereses: el pago de
i
al tiempo 1 es equiva-
2*
Problemas Teóricos
%10
)2( =i
%52/%10 )2()2( =⇒= ii cada seis meses.
i pagada en P
1)1( 1 P
i
3.- El problema anterior, pero utilizando una tasa de descuento d en P períodos
))1(1()1(1 11 PP id
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