Introducción a matrices
| Autor | Cristian Fernando Téllez Piñerez/Mario Alfonso Morales Rivera |
| Páginas | 196-211 |
Ap´
endice A
Introducci´on a matrices
Se pretende recordar algunas definiciones y propiedades referentes a matrices.
Asumimos que el lector est´a familiarizado con la definici´on de matriz, las ope-
raciones b´asicas como la transposici´on, suma, multiplicaci´on de un escalar por
una matriz, multiplicaci´on de dos matrices entre otras. Los teoremas se dan
sin demostraci´on, los interesados en esos detalles pueden remitirse a Harville
(1997) y Searle (1982).
A.1 Propiedades de la suma y producto
A continuaci´on se revisar´an los principales resultados con respecto a la suma
y producto de matrices
A.1.1 Propiedades de la suma
Teorema A.1. Sean A,ByCmatrices de tama˜no m×nycydescalares,
entonces:
a. (A+B) + C=A+ (B+C)
b. A+B=B+A
c. A+0=A(0la matriz nula)
d. A+ (−A) = 0
e. c(A+B) = cA+cB
f. (c+d)A=cA+dA
g. 1A=A
La matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero se denomina matriz
nula (o matriz cero ) y la denotaremos por 0
196
197 Modelos lineales
A.1.2 Propiedades del producto
Recordemos que la multiplicaci´on de una matriz Apor una matriz Bsolamente
se define cuando el n´umero de columnas de Aes igual al n´umero de filas de
B. Hay tres situaciones con respecto al producto de dos matrices AyB. Si
Aes de orden r×c
a. AB existe solo si Btiene cfilas.
b. BA existe solo si Btiene rcolumnas.
c. Ambas, AB yBA existen solo si Bes de orden c×r
De las situaciones anteriores se desprende que AA =A2existe solo cuando
Aes cuadrada; AB yBA siempre existen y son del mismo orden cuan do
AyBson cuadradas del mismo orden. T´enganse en cuenta que en general
AB 6=BA
Cuando se hace el producto AB se dice que Aes postmultiplicada por Bo
que Aes multiplicada a derecha por B. Tambi´en se puede decir que Bes
premultiplicada por Ao que Bes multiplicada a izquierda por A
Teorema A.2. Al suponer que A,ByCson conformables con las operaci ones
indicadas y que cydson escalares; entonces
a. c(dA) = (cd)A
b. cAB = (cA)B=A(cB)
c. A(BC) = (AB )C
d. IA =AyB I =B
e. A(B+C) = AB +AC
f. (A+B)C=AC +BC
En el teorema A.2, Ies la matriz identidad, la cual es una matriz cuadrada que
tiene todos los elementos diagonales iguales a 1 y todos los dem´as componentes
iguales a cero. Para simbolizar la matriz identidad de orden nusaremos Ino
simplemente Icuando en el contexto est´e claro el orden de la matriz.
A.2 Algunos tipos especiales de matrices
Se estudian en esta secci´on las propiedades de la transpuesta de una matriz,
las matrices sim´etricas y matrices particionadas.
M.A. Morales C.F. Tellez
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