Anualidades o series uniformes
| Autor | Jhonny de Jesús Meza Orozco |
| Cargo del Autor | Ingeniero en Transportes y Vías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia |
| Páginas | 219-352 |
Capítulo 5
Anualidades o series uniformes
Ni tengo que pagar
ni me quedas a deber;
si yo te enseñé a querer
tu me enseñaste a olvidar.
ramón de Campoamor
Quien compra al ado,
compra doblado.
G. Fandiño
0. IntroduccIón
En el capítulo 3 se analizaron operaciones nancieras con ujos de caja conformados
por un pago único y un ingreso único, o de pagos e ingresos diferentes ubicados en
diferentes fechas, sin ninguna periodicidad; para esta clase de ejercicios, con la aplicación
de una ecuación de valor, calculamos el valor presente y el valor futuro equivalentes a
esa serie de pagos. En la práctica, sobre todo en los créditos comerciales, es común el
nanciamiento de activos a través de una serie de pagos que tienen la característica de
ser iguales y periódicos. Tales pagos iguales y periódicos se llaman anualidades, series
uniformes o rentas uniformes. Son casos de anualidades las cuotas periódicas para el
pago de un electrodoméstico, de un vehículo, los sueldos mensuales, las cuotas de
seguros, los pagos de arrendamientos, entre otros, siempre y cuando, no cambien de
valor durante algún tiempo.
En este capítulo se aborda el estudio de las anualidades más comunes y de mayor
aplicación en la vida práctica. Para su estudio calcularemos el valor presente
equivalente a la anualidad, valor futuro equivalente, el valor de la cuota igual y periódica
y el número de pagos o tiempo de negociación. Haremos el cálculo de la tasa de interés
de ujos de caja que presentan varios egresos utilizando el método de ensayo y error,
con la calculadora nanciera y con la hoja electrónica Excel.
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Matemáticas nancieras aplicadas
Con la solución del siguiente ejercicio podemos hacer la introducción a este tema:
Ejemplo 5.1
Una persona compra un juego de muebles, cuyo valor de contado es de $2.000.000. Si
le dan la facilidad para pagarlo en 4 cuotas mensuales iguales de A cada una, pagaderas
al nal de cada mes, cobrando una tasa de interés del 36% capitalizable mensual mente,
¿cuál es el valor de las cuotas?
El ujo de caja siguiente muestra lo que sucede en la operación nanciera:
f.f.
0 1
A
2
A
3
A
4 meses
A
2.000.000
El comprador recibe un crédito de $2.000.000 para pagarlo con 4 cuotas mensuales
iguales. La tasa de interés de la operación está expresada en forma nominal, por lo tanto,
se debe capitalizar para conocer la tasa efectiva del crédito.
i
n
J036
12 00
33
.
.%
mensual.
Planteamos la ecuación de valor con fecha focal en el momento cero.
2
000 000
1003 1003 1003 1003
12
34
..
..
..
AA
AA
()()()
()
2000 000
10310609 10927 11255
..
....
AA
AA
Factorizando A, tenemos:
2.000.000 5 A(0.9709 1 0.9426 1 0.9151 1 0.8885)
2.000.000 5 A(3.7171)
A 5 $538.054.09
Si hubiésemos planteado la ecuación con fecha focal en el mes tres, tendríamos:
2.000.00 (1 1 0.03)3 5 A (1 1 0.03)2 1 A (1 1 0.03)1 1 A 1 A
1003 1
.
()
2 .185.454 5 1.0609A 1 1.03A 1 A 1 A
103.
2.185.454 5 4.0618A
A 5 $538.054.09
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Jhonny de Jesús Meza Orozco
Utilizando la técnica de la ecuación de valor se logró fácilmente la solución de este ejer-
cicio. Pero, si el número de pagos hubiese aumentado considerablemente la solución
no habría sido tan sencilla, como en el caso de pagar una deuda mediante cuotas men-
suales iguales durante 10 años. El conicto que se presenta cuando se tiene un número
grande de cuotas creó la ne ce sidad de diseñar un modelo matemático que planteara
una solución lógica y sencilla, llamado Anualidad.
1. dEfInIcIón dE anuaLIdad
Una anualidad es un conjunto de pagos iguales1 hechos a intervalos iguales de tiempo.
El término anualidad parece signicar que los pagos se hacen anualmente. En el senti-
do estricto de la expresión, esto no es necesariamente así. En Matemáticas Financieras,
anualidad signica pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que pueden ser anuales,
trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc.
El estudio de las anualidades es de mucha importancia en nanzas, entre otras razones,
porque es el sistema de amortización más común en los créditos comerciales, bancarios
y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el nanciador, cada vez que recibe el
pago de la cuota, recupere parte del capital prestado.
Antes de entrar de lleno a estudiar las anualidades, es necesario denir algunos términos:
1.1 rEnta o pago
Es el pago periódico y de igual valor.
1.2 pEríodo dE rEnta
Es el tiempo que transcurre entre dos pagos.
2. condIcIonEs para quE una sErIE dE pagos sEa una anuaLIdad
Para que un conjunto de pagos se considere una anualidad debe cumplir con las si-
guientes condiciones:
• Todos los pagos deben ser iguales.
• Todos los pagos deben ser periódicos.
• Todos los pagos son llevados al principio o al nal de la serie, a la misma tasa, a
un valor equivalente, es decir, la anualidad debe tener un valor presente equiva-
lente y un valor futuro equivalente.
• El número de pagos debe ser igual al número de períodos.
3. cLasEs dE anuaLIdadEs
Las clases de anualidades más comunes, son las siguientes:
• Anualidad vencida.
• Anualidad anticipada.
• Anualidad diferida.
• Anualidad perpetua.
1 En anualidades, los pagos iguales signican pagos constantes.
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