Gradientes o series variables
| Autor | Jhonny de Jesús Meza Orozco |
| Cargo del Autor | Ingeniero en Transportes y Vías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia |
| Páginas | 353-405 |
Capítulo 6
Gradientes o series variables
Aprende a conocer el verdadero valor del
tiempo: arrebata, coge y aprovecha cada
momento. Nada de ociosidad; fuera pereza;
nada de aplazamientos; nunca dejes para
mañana lo que puedas hacer hoy.
lord CHesterField
0. IntroduccIón
En economías inacionarias los créditos favorecen a los deudores, porque están en la
posibilidad de liquidar sus deudas con dinero más barato, razón por la cual los acreedores
no recuperan totalmente el dinero prestado. El otorgamiento de créditos con tasas de
interés jas constituyen un subsidio tácito a favor del deudor y a cargo de los fondos
manejados por la entidad nanciadora (Zarruk,1986). Por esta razón, el prestamista nece-
sita recuperar lo antes posible el dinero dado en préstamo. De otra parte, los usuarios de
créditos a largo plazo, por su limitada disponibilidad de dinero, también necesitan contar
con sistemas de amortización de créditos que se inicien con cuotas bajas que se vayan
incrementando al ritmo de sus ingresos. Estas circunstancias que rodean una operación
nanciera plantean la necesidad de diseñar modelos matemáticos que consideren ujos
de caja conformados por una serie de pagos que no sean iguales, sino que aumenten o
disminuyan periódicamente, llamados Gradientes o Series Variables.
Estos modelos matemáticos también se basan en la suposición teórica de que valores
como el mantenimiento de un vehículo, gastos operativos de una empresa, aumentan
cada período en una cantidad exactamente igual. Se arma que es una suposición teó-
rica porque en la vida real, en lo que hace referencia a estos gastos, es imposible que se
puedan prever aumentos o disminuciones periódicos constantes. Sin embargo, la serie
de gradientes también analizan estas situaciones.
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Matemáticas nancieras aplicadas
El propósito de este capítulo es, precisamente, el análisis de este modelo matemático
llamado Gradientes o series variables. Es así como analizaremos una serie de pagos que
aumentan o disminuyen cada uno con respecto al anterior en una cantidad constante de
dinero, la que llamaremos gradiente lineal o aritmético, y la serie de pagos que aumen-
tan o disminuyen en un porcentaje constante la que llamaremos gradiente geométrico.
Analizaremos, como caso especial, un tipo de gradiente llamado gradiente escalonado,
que es aquel cuyas cuotas permanecen jas durante un tiempo (generalmente un año)
y después aumentan en una cantidad ja, en pesos o en porcentaje.
Como introducción a este tema desarrollemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 6.1
Una deuda se está cancelando con 6 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en
$5.000. El valor de la primera cuota es de $100.000. Si la tasa de interés que se cobra en
la operación es del 3% mensual, calcular el valor inicial de la deuda.
El ujo de caja es el siguiente.
0
P
1 2 3 4 5
6 meses
100.000 105.000 110.000 115.000 120.000
125.000
Se elige el momento cero para plantear la ecuación de valor.
P
100 000
103
105 000
103
110 000
103
115 000
103
123
.
.
.
.
.
.
.
.
() () () (() ()
()
456
120 000
103
125 000
103
.
.
.
.
P 5 $607.100.13
La solución de este ejercicio no presentó ninguna dicultad. Es el mismo procedimiento
que utilizamos para resolver ujos de caja variables conformados por pagos individua-
les vistos en el capítulo 3, y el mismo con que hicimos la introducción al tema de las
anualidades. Pero, si el ejercicio supusiera no 6 pagos mensuales sino, por ejemplo, 60
pagos mensuales, la solución del ejercicio utilizando este procedimiento se tornaría lar-
go y tedioso. Por esta razón, se hace necesario entrar a estudiar el modelo matemático
llamado Gradientes o Series variables que analiza esta situación. El modelo suministra
expresiones para hacer movimientos del dinero en una forma directa, sin tener que acudir
al procedimiento del ejemplo 6.1.
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Jhonny de Jesús Meza Orozco
1. dEfInIcIón
Se llama gradientes a una serie de pagos periódicos que tienen una ley de formación.
Esta ley de formación hace referencia a que los pagos pueden aumentar o disminuir,
con relación al pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje.
2. condIcIonEs para quE una sErIE dE pagos sEa un gradIEntE
Para que una serie de pagos periódicos se considere un sistema de gradientes, debe
cumplir con las siguientes condiciones.
• Los pagos deben tener una ley de formación.
• Los pagos deben ser periódicos.
• La serie de pagos debe tener un valor presente (P) equivalente y un valor futuro
(F) equivalente.
• El número de períodos debe ser igual al número de pagos.
Si comparamos estas 4 condiciones con las que caracterizan el sistema de anualidades,
notamos que la única diferencia entre los dos modelos matemáticos está en la primera
condición. Mientras que en el sistema de anualidades los pagos son iguales, en el sistema
de gradientes los pagos tienen una ley de formación. Una anualidad, entonces, es un caso
especial de gradientes en el cual la variación de una cuota con respecto a la otra es cero.
Por esta razón, el tratamiento que se le da a los gradientes es igual al de las anualidades.
Se pueden presentar combinaciones, tanto en el gradiente aritmético como en el
geométrico, como las analizadas en las anualidades. En el caso de cuotas que crecen en
una cantidad ja periódicamente, se presenta un gradiente lineal creciente vencido, si
las cuotas se pagan al nal del mes; gradiente lineal creciente anticipado, si las cuotas
se cancelan al principio del período y gradiente lineal creciente diferido, si el pago de la
primera cuota se posterga en el tiempo. Estas combinaciones también se presentan para
el gradiente lineal decreciente. En el caso en que las cuotas aumenten cada período en
un porcentaje y el pago se realice al nal del período se tiene un gradiente geométrico
creciente vencido. Si el pago de las cuotas es anticipado se tiene un gradiente geomé-
trico creciente anticipado, y si las cuotas se cancelan períodos posteriores a la fecha de
realizada la operación nanciera, se tiene el gradiente geométrico creciente diferido. Lo
mismo sucede con el gradiente geométrico decreciente.
3. gradIEntE LInEaL o arItmÉtIco
Serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado o dismi-
nuido en una cantidad constante en pesos. Cuando la cantidad constante es positiva, se
genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la cantidad constante es negativa, se
genera el gradiente aritmético decreciente. Por ejemplo, si una deuda se está cancelando
con cuotas mensuales que crecen cada mes en $5.000, la serie de pagos conforman un
gradiente lineal creciente. Si los pagos disminuyen en $5.000 cada mes, su conjunto
constituye un gradiente lineal decreciente.
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