Bibliografía
| Autor | Jorge Ortiz Pinilla |
| Páginas | 157-183 |
Cap´ıtulo 9
Inferencia con distribuciones
conocidas
Muchos experimentos, desde su definici´on, arro jan resultados num´ericos y el es-
pacio muestral es un subconjunto de R. Otros producen inicialmente resultados no
num´ericos pero el c´a lculo de indicadores adecuados permite recolectar informaci´on
num´erica para su an´alisis.
9.1. Distribuci´on binomial
En el cap´ıtulo 6 se vio la distribuci´on binomial como resultado de contar los
elementos extra´ıdos con reposici´on de una poblaci´on dicot´omica. No es la ´unica
forma de encontrar esta distribuci´on:
El lanzamiento de una moneda “equilibrada” es el ejemplo m´as t´ıpico: un
lado de la moneda se llama “Cara” y el otro “Sello”. Un ensayo consiste
en lanzarla una vez, codificando el resultado como 0 si sale Sello y como
1 si sale Cara. Cada resultado tiene probabilidad p= 1/2 y se supone
que lo observado en un ensayo no afecta de ninguna manera lo que pueda
observarse en cualquiera otro. Ensayos como ´estos se llaman ensayos de
Bernoulli id´enticos e independientes con probabilidad de 1 igual a p.
Si, en lugar de la moneda, se lanza un dado de seis caras marcadas con
1,2,...,6 puntos y si se considera que se gana en el lanzamiento si se ob-
tiene 3, con el ensayo de Bernoulli se tiene ahora una probabilidad 1/6 de
ganar. Codificando ca da resultado de ganar como 1 y el contrario como 0,
la repetici´on id´entica e independiente de nde estos ensayos da origen a un
experimento binomial donde la variable Xque cuenta la cantidad de ´exitos
obtenidos tiene distribuci´on binomial X∼Bin(n, p = 1/6). Obs´ervese que
si se considera la variable Yque cuenta la cantidad de fracasos, entonces
Y∼Bin(n, 5/6).
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158 Inferencia con distribuciones conocidas
Si se sabe que en un proceso de fabricaci´on de botellas el 18% es defectuoso,
un ensayo de Bernoulli consiste en seleccionar al azar una botella y mirar si
tiene defectos. La observaci´on de la cantidad de botellas con defectos entre
nescogidas de manera aleatoria a lo largo del proceso define una variable
aleatoria X∼Bin(n, 0.18).
Cuando se realizan nensayos id´enticos e indep endientes, la variable Xque
cuenta la cantidad de resultados codificados como 1 tiene distribuci´o n bi-
nomial con par´ametr os nyp, donde pes la probabilidad de tener 1 c omo
resultado en cada uno de los ensayos.
Cuando la extracci´on es sin rep osici´on, se generan variables hipergeom´etricas
X∼H(N, NA, n) que cuentan el n´umero de elementos en la muestra con
una propiedad A. Si la poblaci´on es g rande en comparaci´on con la muestra
seleccionada, la composici´on de la urna no se afecta sensiblemente y la dis-
tribuci´on binomial aproxima bien la hipergeom´etrica. En este caso nes el
tama˜no de la muestra, se toma pA=NA/N ynAes la cantidad de elementos
de la muestra con la propiedad A. Entonces X˙∼Bin(n, pA):
P r(X=nA)≈n
nApnA
A(1 −pA)n−nA(9.1)
Por lo general, se conoce NoNA, p ero no ambos, lo que impide saber el
valor de pA. Como ejemplo, s e puede tener informaci´on sobre el tama ˜no de
una poblaci´on determinada, p ero no sobre cu´antos de ellos presentan una
enfermedad A.
9.1.1. Pruebas de hip´otesis sobre p
Pruebas unilaterales derechas. En una p´agina web se ofrece una gama de
productos para la venta. Un estudio previo ha mostrado que el 10% de los visitan-
tes que llenan el carro de compras realizan efectivamente alguna. Por otra parte,
se ha establecido que un servicio adicional de ayuda interactiva al potencial cliente
resulta rentable para la empresa si la proporci´on de ventas sube a m´as del 20%.
Se propone un peque˜no estudio en el que, mediante un mecanismo de selecci´on
aleatoria, se escogen n= 30 visitantes de la p´agina que llenan el car ro de compras
y se les brinda ayuda. Para cada visita , representada como wi, se registrar´a la
decisi´on de compra, X(wi) = Xi, que se codificar´a como 1 si resulta efectiva y
como 0 si no. Mientras no se tenga el dato respectivo, Xies una variable aleatoria
asociada a un ensayo de Bernoulli y Xi∼Bernoulli(p), donde pes la pro porci´on
de ventas en las condiciones se˜naladas.
Seg´un lo establecido, se considera que el nuevo servicio es rentable si p > 0.2.
Como no incluye la igualdad, se enuncia como la hip´otesis alternativa, H1:p > 0.2.
Entonces H0:p≤0.2 y p0= 0.2.
Si los ensayos de Bernoulli s on independientes, la variable X=
n
P
i=1
Xies la
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