La población como una urna
| Autor | Jorge Ortiz Pinilla |
| Páginas | 95-126 |
Cap´ıtulo 6
La poblaci´on como una urna
Concebir una poblaci´on como una urna permite considerar pr´acticas que se
realizan com´unmente con ellas, como extraer elementos y observar algunas carac-
ter´ısticas mediante patrones similares a los del cap´ıtulo 2. En este cap´ıtulo nos
limitaremos a poblaciones cuyo tama˜no Nes finito.
La Estad´ıstica se ocupa del conocimiento de aspectos colectivos en poblacio-
nes donde cada individuo es observado en lo referente a una o m´as variables que
presentan un inter´es espec´ıfico para un estudio. Esos aspectos colectivos se traba-
jan mediante operaciones o funciones matem´aticas para todos los elementos que
conforman una poblaci´on dada, por ejemplo:
1. La cantidad de elementos que hay en la poblaci´on: la cantidad de habitantes
en una ciudad, cantidad de animales en una regi´on, la cantidad de art´ıculo s
fabricados.
2. E l acumulado total de una variable cuantitativa en todos los elementos: el
valor de una n´omina de empleados en una empresa, la cantidad de dinero
obtenido por la aplicaci´on de un impuesto en un municipio.
3. La propor ci´on de elementos con una ca racter´ıstica espec´ıfica: la proporci´on
de habitantes en condiciones de pobreza, la de mujeres en una poblaci´on, la
de art´ıculos defectuosos en un lote de producci´on.
4. La rela ci´on entre totales de dos variables: el total de ventas de un art´ıcu-
lo sobre el total de gastos en publicidad, la cantidad de habitantes en un
municipio sobre la cantidad de camas en los centros hospitalarios del mismo
municipio.
Las mediciones colectivas realizadas con datos poblacionales se conocen como
par´ametros y uno de los pr op´ositos de la Estad´ıstica es calcular o al menos estimar
su valor en las poblaciones.
Lo natural es acceder a cada uno de los elementos de la poblaci´on, evaluar la
caracter´ıstica estudiada y realizar los c´alculos necesarios para obtener el valor del
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indicador acordado. Sin embargo, por lo general, este proceso o no es factible o
no es conveniente y se tienen limitaciones en cuanto a la cantidad de elementos
que pueden ser observados. De ah´ı la utilidad de concebir la poblaci´on como una
urna y de conocer las formas b´asicas de extracci´on de sus elementos. Poco a poco
iremos viendo que las observaciones obtenidas bajo ciertas condicio nes propor-
cionan informaci´on que permite conocer razonablemente algunas ca racter´ısticas
poblacionales.
6.1. Datos dicot´omicos
Supongamos que en una poblaci´on de tama˜no Nse tiene una variable Ypara
indicar si sus elementos tienen una determinada pr opiedad A(Y= 1) o no (Y= 0).
Los datos se pueden repres entar como en la tabla 6.1.
Tabla 6.1: Codifica ci´on de la presencia de una propiedad Aen los elementos de
una poblaci´on
Elemento Presenta ACodificaci´on (y)
e1no 0
e2si 1
.
.
..
.
..
.
.
eisi 1
· · ·
ejno 0
.
.
..
.
..
.
.
eNsi 1
La distribuci´on de frecuencias resultante de realizar el inventario de la variable
es simple por lo que se tienen solo dos valores: se cuenta la cantidad de elementos
con la propiedad A, llam´emosla NAy la de los que no la tienen, N−NA:
Con esta codificaci´on particular, el n´umero de elementos en la poblaci´on que
tienen la propiedad Aes
NA=
N
X
i=1
yi(6.1)
y entonces el promedio de Yen la poblaci´on es igual a:
µY=1
N
N
X
i=1
yi=NA
N=pA(6.2)
6.1. Datos dicot´omicos 97
Tabla 6.2: Distribuci´on de frecuencias de una variable dicot´omica
Presenta la propiedad ACodificaci´on Frecuencia Proporci´on
Si 1 NApA=NA
N
No 0 N−NA1−pA=N−NA
N
Total N1
y coincide con la proporci´on de casos que presentan la propiedad A. Se hace evi-
dente la conveniencia de codificar los datos para cada elemento como 1 s i presenta
la propiedad Ay como 0 si no. La varianza (con divisor N) de Yes
σ2
Y=1
N
N
X
i=1yi−NA
N2
=NA
N1−NA
N
=pA(1 −pA) (6.3)
Una poblaci´o n Ω, observada desde la perspectiva de una variable Yrelacionada
con la presencia de una propiedad A(Y= 1) o con su ausencia (Y= 0) en cada
uno de sus elementos se conoce como una poblaci´on dicotomizada por Y. La
distribuci´on de prop orciones de la variable Yse llama la funci´on de densidad de
Bernoulli con par´ametro pA, donde pAes la proporci´on de elementos en Ω que
presentan la propiedad A. Se escribe Y∼Ber(pA).
Se acostumbra representar gr´aficamente la distribuciones de frecuencias o de
porcentajes con diagr amas de barras o circulares. Por ejemplo, si un proveedor de
sercicios de Internet cuenta con 1 530 000 clientes y al estudiar su satisfacci´on con
el servicio se encuentran 435 000 insatisfechos, puede describir la distribuci´on de
los clientes en diferentes formas:
Tabular: Lo usual es presentar, para cada categor´ıa, su frecuencia y el porcen-
taje respectivo.
Tabla 1. Distribuci´on de los clientes
seg´un su satisfacci´on con el servicio
Cantidad Porcentaje
-------------------------
Insatisfechos 435000 28.4
Satisfechos 1095000 71.6
-----------------------------------------
Total 1530000 100.0
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