Mediciones colectivas
| Autor | Jorge Ortiz Pinilla |
| Páginas | 39-68 |
Cap´ıtulo 4
Colectividades y mediciones
colectivas
4.1. Colectividades
Por su naturaleza, la Estad´ıstica se ocupa de caracter´ısticas colectivas, es decir,
compartidas por conjuntos de elementos de una determinada poblaci´on y, aunque
en ocasiones se realiza n an´alisis de casos particulares, el punto de referencia es
siempre una expresi´on colectiva. Las colectividades pueden ser poblaciones com-
pletas o grupos de elementos definidos por las categor´ıas asociadas con una o m´as
variables nominales o sobre las que se han definido clases de alguna forma.
Una vez definida una poblaci´on, Ω, llamaremos colectividad de esa poblaci´on
a cualquiera de sus subconjuntos, A⊂Ω. Las que contienen un solo elemento se
llaman colectividades elementales.
Para un problema particular no sie mpre se necesitan todo s los subconjuntos
de Ω. Por ejemplo, si se quiere estudiar alguna relaci´on entre la condici´on de
fumador durante un tiempo y un diagn´ostico de c´ancer en una poblaci´on, interesan
las colectividades que corresponden a la condici´on de fumador y a la de tener un
diagn´ostico de c´ancer segun lo establecido en el estudio. Esto implica que to das
las formas de describir la poblaci´on completa y sus subconjuntos derivados del
lenguaje prop osicional con las dos caracter´ısticas relacionada s deben reflejarse en
una estructura de c onjuntos pertinente y claramente definida. Para desarrollar este
lenguaje no se necesita informaci´on sobre otros aspectos diferentes. Introducirla
significa ampliar el estudio a la estructura m´as compleja que se genere al hacerlo
y debe corresp onder adecuadamente a los ob jetivos planteados.
De lo anterior se deduce la necesidad de utilizar una estructura matem´atica
que garantice que el lenguaje incorporado lleve a manipular siempre ob jetos bien
definidos. Una σ-´algebra de conjuntos de Ω permite lograrlo satisfactoriamente:
Una σ-´algebra de conjuntos de Ω es una colecci´on AΩde subconjuntos de Ω
que tiene las siguientes propiedades:
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40 Mediciones colectivas
1. Ω ∈ AΩ. As´ı se tiene la posibilidad de hablar de toda la poblaci´on como una
de las colectividades.
2. Si una colectivida d A∈ AΩ, entonces su complemento tambi´en pertenece a
AΩ. Por lo tanto, si una propiedad define una colectividad A∈ AΩ, entonces
la negaci´on de esa propiedad define otra colectividad A∁que tambi´en se
encuentra en AΩ. En otras palabras, si dentro de la σ-´algebra, se puede
hablar de quienes tienen una propiedad, entonces tambi´en de quienes no la
tienen.
3. La uni´on de cualquier cantidad, finita o infinita de colectividades de AΩ
es tambi´en una colectividad de AΩ. Con esto, el lengua je que utiliza la
preposici´on “o” entre propiedades que definen colectividades de AΩse puede
utilizar sin restricciones.
Adem´as, por las dos propiedades anteriores, el mismo uso sin restricciones
se aplica al lengua je que utiliza la prepo sici´on “y”.
N´otese que, para el ejemplo, si Fes el conjunto de los que est´an en condici´on
de fumadores y Cel de quienes tienen diagn´ostico de c´ancer, la siguiente σ-´algebra
contiene todos los conjuntos correspondientes al lenguaje prop osicional relacionado
con los fumadores o no fumadores y con diagn´ostico de c´ancer o sin ´el:
AΩ=∅,Ω, F, F ∁, C, C∁, F ∪C, F ∩C, F ∪C∁,
F∩C∁, F ∁∪C, F∁∩C, F ∁∪C∁, F ∁∩C∁(4.1)
Ejercicios
1. Verifique las propiedades de σ- ´algebra de AΩ, definida en (4.1).
2. Si en una poblaci´on Ω se quiere estudiar solamente la condici´on de diagn´osti-
co de c´ancer (tiene o no tiene diagnosticado el c´ancer), ¿cu´al es la σ-´algebra
adecuada?
3. La e dad clasifica a las personas de una poblaci´on en ni˜nos (N), j´ovenes (J)
y adultos (A). Construya una σ-´algebra adecuada par a el estudio. Describa
cada colectividad con una frase.
4. Lo s art´ıculos producidos por una empresa se dividen en los que tienen ga-
rant´ıa vigente y los que ya la tienen vencida y, adem´as, en lo s que se en-
cuentran funcionando bien, en los que presentan defectos reparables y en
los irreparables. Construya la σ-´algebra correspondiente y describa cada
conjunto con una frase.
5. Si la v ida ´util de un producto se mide en meses cumplidos y su m´aximo es
de 12 meses, verifique que una σ-´algebra para estudiarla se puede construir
a partir de las uniones e intersecciones de los intervalos de la forma [0, k],
con k= 0,1,...,12 y sus complementos.
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