Funciones reales de variable real
| Autor | Agustín Curo/Mihály Martínez |
| Páginas | 235-390 |
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Unidad 4: Funciones reales de variable real
Es frecuente encontrar cantidades que se describan en términos de otras, por ejemplo:
El interés I (ganancia) al invertir un dinero a una tasa de interés anual r capitalizado
mensualmente depende del tiempo transcurrido t de la inversión. ¿Cuál es la regla para
obtener el interés en términos de t?
La cantidad demandada q de un producto está relacionada con su precio p, es decir, la cantidad
demandada de un artículo depende del precio unitario del mismo. ¿Qué características debe
tener la regla de correspondencia para que releje este comportamiento
El costo total C de un producto está en función del número de unidades q que se producen
(entre otras variables que se pueden mencionar).
En cada uno de estos ejemplos se identiican variables que tienen algún tipo de
dependencia entre ellas y que toman valores dentro de un conjunto determinado.
4.1. Funciones
Deinición
Una función f es una regla en la que a cada elemento de entrada x de un conjunto se le asigna un
único elemento de salida y.
Al conjunto de elementos de entrada, se le denomina dominio de f y se denota dom(f). Al conjunto
de elementos de salida, rango de f ; se denota ran(f).
Figura 4.1
Observe que el valor de la variable y depende del valor de la variable x mediante la regla f (ver
igura . Esta dependencia se expresa por y = f(x). Entonces se dice que y es la variable dependiente
y x, la variable independiente. Al valor f(x) se le llama «imagen de x», y a x, «preimagen de f(x)».
Una función real de variable real es aquella cuyos valores de entrada y salida son números reales.
Entrada
x
Regla
f
Salida
y
xfy
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A C C M M M M
Ejemplo 1
En la igura a se muestra una función f que relaciona a los elementos de un conjunto A con los
elementos de un conjunto B.
f es una función porque para cada elemento x de A solo le corresponde un único elemento y de B.
Se observa que dom(f A y ran(f B
Además, por ejemplo, de f se puede decir que es la imagen de y que la preimagen de
Como f f f y f entonces la regla de correspondencia f(x) de f se puede
expresar por f(x) = x2 para todo x de A.
Figura 4.2a
A
f
B
1.
2.
3.
4.
.1
.4
.9
.16
Ahora observe la igura b En este caso la regla establecida por las lechas no corresponde a
una función, puesto que para x = 3 no le corresponde solo uno, sino dos elementos de B. Por lo tanto,
no cumple la deinición de función
Figura 4.2b
A B
1.
2.
3.
.2
.3
.5
.6
f
Ejemplo 2
Considere la función g
Esta función está representada en términos de pares ordenados (x; y). La regla y = g(x) se aprecia
en la igura
Observe que g y g(3) = 5, es decir, para x se le asigna un único elemento y = 5, del
mismo modo que para x = 3.
Se observa que dom(g y ran(g
Es casi imposible determinar una ecuación para la regla de correspondencia g(x).
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U F
237
Figura 4.3
–1. .1
.3
.2
.5
0.
1.
2.
3.
g
Ejemplo 3
Observe la correspondencia h que se ilustra en la igura
Figura 4.4
.2
.4
.6
.8
1.
2.
3.
h
¿Esta correspondencia h deine una función ¿Por qué?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Ejemplo 4
Considere ahora la función f deinida por f(x) = 2x para x 5.
Se puede determinar que dom(f) = ………. y ran(f) = ………..
Además, la imagen de x = 3 es ……… y la preimagen de y = 2 es ………..
Ejemplo 5
Para la función f deinida por la regla f(x) = 3 – x2, se tiene:
a. f(–5) = 3 – (….)2 =
b. f(
3
) =
c. f(2a) =
d. f(a
e. f(5 – x) =
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