Matrices
| Autor | Agustín Curo/Mihály Martínez |
| Páginas | 135-179 |
U P C A 135
Unidad 2: Matrices
M
Deinición Tipos y operaciones básicas
A menudo, se presentan situaciones en las que se debe tener información ordenada, precisa y
simpliicada con el in de tomar buenas decisiones o por lo menos entender cuál es la situación
real del problema.
Se plantea la siguiente situación: el alcalde de cierta ciudad decidió reubicar un mercado,
el más grande de la ciudad a una zona más amplia limpia y segura Los comerciantes del mercado
no estaban de acuerdo con esta medida y vencidos los plazos no se trasladaron al nuevo local
Se optó por desalojar a los comerciantes con apoyo de la policía y los comerciantes ofrecieron
resistencia. Después de tres días se logró el desalojo, pero con graves consecuencias de muertes
y heridos de algunos policías y comerciantes Los noticieros locales cubrieron la información del
desalojo lo cual generó diversas reacciones en los pobladores de la ciudad que se maniiestan
en una encuesta hecha después de los acontecimientos.
Ante la actual gestión del alcalde Vilarón, una encuesta de 1 520 personas reveló que de los
encuestados del mismo partido del alcalde, 293 aprueban su desempeño, 196 no lo aprueban y
201 no opinaron. De los que pertenecen a los partidos de oposición, 157 aprueban el desempeño
del alcalde, 231 no lo aprueban y 92 no opinaron. De los independientes, 147 lo aprueban, 131
no lo aprueban y 72 no opinaron.
Es fácil entender la información del resultado de las encuestas sobre la gestión del
alcalde Cómo ordenar esta información para que sea más clara
Aquí solo un ejemplo de los muchos que existen en los negocios, donde tener la
información ordenada es fundamental no solo por la sistematización de la información sino
por las operaciones a las que se accede más fácilmente tales como sumas productos etcétera
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A C C M M M M
Por ejemplo a matriz
35
47
−
=
A es de orden 2 × 2; por lo tanto, tiene cuatro elementos y son los
siguientes:
a11 3=− , a12 5=, a21 4=y a22 7=
Ejemplo
Considere la matriz
2 10
9 53
=
−
A
La matriz A = (aij de orden deinida por
≥
<−
=
jij
j
iji
aij si,−3
si,2
puede ser expresada,
explícitamente, determinando sus elementos según la condición.
Observe que cuando en los índices ocurre i < j, se utiliza i – j, y cuando i > j, se utiliza j.
a11 = 3 – (1) = 2 a12 = 2(1) – 2 = 0 a13
a21 = 3 – (1) = 2 a22 = 3 – (2) = 1 a23 = 2(2) – 3 = 1
a31 = 3 – (1) = 2 a32 = 3 – (2) = 1 a33 = 3 – (3) = 0
Entonces
20 1
21 1
21 0
−
=
A
Deinición
Una matriz de orden m × n es un arreglo rectangular de números colocados en m líneas
horizontales ilas y n líneas verticales (columnas).
11 12 1
21 22 2
12
...
...
. . ... .
. . ... .
...
n
n
m m mn
aa a
aa a
aa a
=
A
También se representa en forma simbólica como
()
ij m n
a×
=A, donde m × n es el orden de la
matriz Los subíndices de aij indican la posición del elemento dentro de la matriz el primero
denota la ila i), y el segundo, la columna (j).
Es una matriz de orden tiene elementos y son los siguientes
a11 2=, a12 =....., a13 =....., a21 =....., a22 =..... y a23 =.....
U P C A
U M
137
Ejemplo
Determine la matriz A = (aij de orden cuyos elementos están dados por
2, si
2 , si
, si
2
ij
ij
ij ij
aiij
>
−=
=
<
Como la matriz de orden tiene tres ilas y tres columnas
11 12 13
.... .... ....
.... .... ....
aaa
=
A
Así, para los elementos aij, donde i < j se muestran los valores Al completar la matriz para i > j
se obtiene:
1 1/2 1/2
.... .... 2/ 2
.... .... ....
=
A
Matrices iguales Las matrices A y B, de orden m × n, son iguales si los elementos que ocupan el mismo
lugar en ambas matrices son iguales.
Es decir,
( )
ij
mn
a×
=A y
( )
ij
mn
b×
=B son iguales si se cumple que
ab
ij ij
= para todo i, j.
Por ejemplo, estas matrices de orden 2×2,
12
30
=
A
y
0
54
6/2 0
=
B son iguales.
Ejemplo
Si las matrices de orden 2×2,
2
4
xy
xy
+
=
−
A y
32
21
x
=
Bson iguales, entonces se determinan los
valores de x e y que lo hacen posible.
Se igualan los elementos correspondientes:
x + y = 3,
4 = 2x, de aquí se deduce que x por lo tanto y
Tipos especiales de matrices
Matriz nula Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos
Notación:
( )
ij mn
a
×
=0
, donde aij =
0
para cada i, j.
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