Muestras probabilísticas y estimadores
| Autor | Andrés Gutiérrez Rojas |
| Páginas | 21-63 |
Cap´ıtulo 2
Muestras probabil´ısticas y
estimadores
La base matem´atica para el desarrollo del modelo de muestreo se encuen-
tra en la teor´ıa de la inferencia estad´ıstica y de manera m´as directa en la
aplicaci´on de los principios b´asicos de la teor´ıa de probabilidad. Los resul-
tados del modelo de muestreo s´olo son v´alidos si se parte de la certeza
de contar con una muestra que satisfaga las condiciones exigidas por la
inferencia estad´ıstica.
Leonardo Bautista (1998)
2.1 Poblaci´on y muestra aleatoria
El proceso de estimaci´on e inferencia en poblaciones finitas, que finalmente son las
que f´acilmente encontramos en la realidad y en las que se enfoca el muestreo, es muy
diferente al proceso de inferencia de la estad´ıstica cl´asica. Esta ´ultima se trata a los
valores observadoscom o realizaciones de una variable aleatoria. En contrav´ıa con lo
anterior, el muestreo asume que los valores observados corresp onden a par´ametros
fijos poblacionales. Partiendo de este hecho formalicemos algunos conceptos que
son de vital importancia en el estudio y an´alisis del muestreo.
2.1.1 Poblaci´on finita
Definici´on 2.1.1. Una poblaci´on finita es un conjunto de Nelementos {e1,e2, ..., eN}.
Cada unidad puede ser identificada sin ambig¨uedad por un conjunto de r´otulos.
Sea U={1,2, ..., N}el conjunto de r´otulos de la poblaci´on finita. El tama ˜no de
la poblaci´on no es necesariamente conocido.
Es el conjunto de N, donde N < ∞, unidades que conforman el universo de estudio.
Nes com´unmente llamado el tama˜no poblacional. Cada elemento perteneciente a
la poblaci´on puede ser identificado por un r´otulo. Sea Uel conjunto de r´otulos, tal
que
21
22 2. Muestras probabil´ısticas y estimadores
U={1, ..., k, ..., N }.
Se utilizar´a el sub´ındice kpara denotar la existencia f´ısica del k-´esimo elemento.
N´otese que el tama˜no de la poblaci´on,N, no siempre es conoci do y en algunas
ocasiones el objetivo de la investigaci´on es poder estimarlo.
2.1.2 Muestra aleatoria
Es un subconjunto de la poblaci´on que ha sido extra´ıdo mediante un mecanismo
estad´ıstico de selecci´on. Notaremos con una letra may´uscula Sa la muestra aleato-
ria1y con una letra min´uscula sa una realizaci´on de la misma. De tal forma que,
sin ambig¨uedad, una muestra seleccionada (realizada) es el conjunto de unidades
pertenecientes a
s={1, ..., k, ..., n(S)}.
El n´umero de componentes de ses llamado el tama˜no de muestra y no siempre
es fijo. Es decir, en algunos casos n(S) es una cantidad aleatoria. El conjunto
de todas las posibles muestras se conoce como soporte. Haciendo una analog´ıa
con la inferencia estad´ıstica cl´asica, el soporte generado por una muestra aleatoria
corresponde al espacio muestral generado por una variable aleatoria.
La anterior definici´on de muestra, en donde los elementos incluidos se listan dentro
de un conjunto, corresponde a la forma cl´asica de notaci´on. Sin embargo, una
muestra tambi´en puede ser notada como un vector de tama˜no N. De esta manera,
la k-´esima entrada del vector denotar´a el n´umero de veces que el elemento fue
incluido o seleccionado; si el valor es cero, indica que el elemento no fue incluido en
la muestra seleccionada; si el valor es distinto de cero, indica que el elemento s´ı fue
seleccionado. Aunque ambas formas de notaci´on tienen la misma interpretaci´on,
para evitar confusiones, se denotar´a la muestra en forma de vector con una sen
negrilla, mientras que la muestra en forma de conjunto se denotara con una s
simple sin negrilla. A continuaci´on se dan definiciones m´as precisas acerca de la
muestra aleatoria con o sin reemplazo.
Muestra aleatoria sin reemplazo
Definici´on 2.1.2. Una muestra sin reemplazo se denota mediante un vector
columna
s= (I1, I2, ..., IN)′∈ {0,1}N(2.1.1)
donde
Ik=(1si el k-´esimo elemento pertenece a la muestra,
0en otro caso (2.1.2)
Una muestra aleatoria se dice sin reemplazo si la inclusi´on de cada uno de los
elementos se hace entre los elementos que no han sido escogidos a´un; de esta
1N´otese que Ses una variable aleatoria.
2.1. Poblaci´on y muestra aleatoria 23
manera el conjunto snunca tendr´a elementos repetidos. El tama˜no de muestra
corresponde a la cardinalidad de s.
n(S) = X
k∈U
Ik.(2.1.3)
Como n(S) no es una cantidad fija, es posible que ocurran uno de los siguientes
escenarios: a) que la muestra no contenga a ning´un elemento, entonces esta muestra
se dice vac´ıa; b) que la muestra contenga a todos los elementos de la poblaci´on,
esta muestra se conoce con el nombre de censo.
Muestra aleatoria con reemplazo
Definici´on 2.1.3. Una muestra con reemplazo se denota mediante un vector
columna
s= (n1, n2, ..., nN)′∈NN(2.1.4)
donde nkes el n´umero de veces que el elemento kest´a en la muestra
En algunos casos, por conveniencia del mecanismo de selecci´on, el usuario prefiere
tomar una muestra aleatoria con reemplazo si la inclusi´on de cada uno de los
elementos tiene en cuenta a todos los elementos, ya sea que hayan sido escogidos
para pertenecer en la muestra o no. De esta forma, el usuario puede seleccionar
una muestra cuyo proceso de selecci´on incluya a un individuo mveces (n´otese que
mpuede ser mayor que N). Sin embargo, en una muestra aleatoria con reemplazo,
dos o m´as componentes pueden ser id´enticos. Un elemento que est´e incluido m´as
de una vez en ses llamado elemento repetido.
En principio el tama˜no de muestra est´a dado por
n(S) = m=X
k∈U
nk.(2.1.5)
El n´umero de elementos distintos en una muestra aleatoria Scon reemplazo es
llamado tama˜no de muestra efectivo y con probabilidad uno es menor o igual
aN.
2.1.3 Soportes de muestreo
En los pr´oximos cap´ıtulos empezar´a el tratamiento particular para estrategias de
muestreo espec´ıficas; es decir, dise˜nos de muestreo que se ajustan a ciertas situa-
ciones y estimadores que mejoran la eficiencia de la estrategia. Sin embargo, antes
de proseguir, es necesario que el lector entienda que las estrategias de muestreo
se definen en t´erminos del tipo de muestreo que se utiliza para la selecci´on de
muestras. En general, existen dos distinciones b´asicas.
1. Tipo de muestreo: selecci´on de unidades con reemplazo o sin reemplazo.
2. Tama˜no de muestra: tama˜no de muestra fijo o aleatorio.
Para continuar leyendo
Solicita tu prueba